Question

（这源自最近完成的编程竞赛）

您将获得两个10 ^ 5个整数的数组，范围为1..10 ^ 7，包括：

int N[100000] = { ... }
int D[100000] = { ... }

想象一下，有理数X是将N的所有元素相乘并除以D的所有元素的结果。

修改两个数组而不更改X的值（并且不指定任何元素超出范围），使得N的乘积和D的乘积没有公因子。

一个天真的解决方案（我认为）会起作用......

for (int i = 0; i < 100000; i++)
    for (int j = 0; j < 100000; j++)
    {
        int k = gcd(N[i], D[j]); // euclids algorithm

        N[i] /= k;
        D[j] /= k;
    }

......但这太慢了。

什么是少于10 ^ 9次操作的解决方案？

Answer 1

将所有数字分解为1到10 ⁷。 ~~使用Eratosthenes Sieve的修改，您可以n时间内将所有数字从1到O(n*log n)分解（我认为它更好，O(n*(log log n)²)左右）{ {1}}空间。~~比这更好的可能是创建一个只有最小素因子的数组。

O(n*log log n)

使用该筛子对数字// Not very optimised, one could easily leave out the even numbers, or also the multiples of 3 // to reduce space usage and computation time int *spf_sieve = malloc((limit+1)*sizeof *spf_sieve); int root = (int)sqrt(limit); for(i = 1; i <= limit; ++i) { spf_sieve[i] = i; } for(i = 4; i <= limit; i += 2) { spf_sieve[i] = 2; } for(i = 3; i <= root; i += 2) { if(spf_sieve[i] == i) { for(j = i*i, step = 2*i; j <= limit; j += step) { if (spf_sieve[j] == j) { spf_sieve[j] = i; } } } }进行分解，查找其最小素数因子n > 1，确定其在p因子分解中的多重性（通过递归查找或简单地查找）划分直到n不能均匀地划分剩余的辅因子，这取决于更快的因子）和辅助因子。当辅助因子大于1时，查找下一个主要因子并重复。

创建从素数到整数的地图

浏览两个数组，对于p中的每个数字，将其因子分解中每个素数的指数添加到地图中的值，对于N中的数字，减去。

浏览地图，如果素数的指数是正数，则输入D到数组p^exponent（如果指数太大，你可能需要将它分成几个指数，并且小值，将几个素数组合成一个条目 - 有664579个质数小于10 ⁷，因此阵列中的100,000个时隙可能不足以存储每个具有正确功率的质数），如果指数为负数，对N数组执行相同操作，如果为0，则忽略该素数。

D或N中任何未使用的广告位都会设置为1。

Answer 2

让我们对N＆amp;中的每个元素进行素数分解。 D在O（sqrt（10 ^ 7）* 10 ^ 5）中

N[i]=p1^kn1 * p2^kn2 ... 
D[i]=p1^kd1 * p2^kd2 ...

维护2个电源阵列

Power_N[p1]=sum of kn1 for all i's
Power_D[p1]=sum of kd1 for all i's

Divide the N and D by p1^(min(Power_N[p1],Power_D[p2])) in O(10^5) each

Answer 3

对数组中的每个元素进行因式分解，排序，取消。因子分解是有界大小的整数的恒定时间，排序是n log n，并且取消将是线性的。但是，常数因素可能很大。

如果你试图降低实际执行时间而不是降低渐近复杂度，那么通过手动取消小因子（例如2,3,5和7的幂）来预处理数组可能不会有什么坏处。概率（即病理输入除外），这将大大加速大多数算法，代价是几次线性时间过去。

一种更复杂的方法，即集成上述方法，首先要建立一个最多sqrt(10^7) ~= 3162的素数列表。根据素数定理，应该有大约3162/ln(3162) ~= 392个这样的素数。（事实上，为了节省运行时间，你可以/应该预先计算这个表。）

然后，对于N中的每个这样的整数，并且对于每个素数，将该整数减少到该素数，直到它不再均匀地分开，并且每次递增该素数的计数。对D执行相同操作，而是递减。一旦你完成了素数表，当前的int将是非-1，当且仅当它是一个大于3162的素数时。这应该是每个数组中总数的7％左右。你可以将它们保存在一堆或某些东西中。当你继续时，也将它们设置为数组中的那些。

最后，你迭代积极因素并将他们的产品放入N.你可能需要将它分成多个数组插槽，这很好。把负面因素放到D中，你就完成了！

这个运行时间需要一分钟才能完成。希望这是合理的。

Answer 4

我建议几乎所有内容都已写完设p =（N中所有元素的乘法）
令q =（D中所有元素的乘法）
X =（P / Q）;应始终保持不变找到p，q的素因子;
通过可能将其功率存储在矩阵a [0]（2的幂），a [1]（3的幂），a [2]（5的幂）等等中。现在您可以比较矩阵中的值并将较低值的幂降低到零。
例如。 p = 1280 q = 720
对于p a [0] = 8（幂为2）a [1] = 0（幂为3）a [2] = 1（幂为5）;
对于q b [0] = 4 b [1] = 2 b [2] = 1;

使索引0,1,2 .......

中的一个/两个（如果两者相等）值/ s为零

减少整数分数算法

4 个答案: