Tribonacci系列具有不同的初始值

Question

如果初始值是一些任意数字，如果1,2 3即T（1）= 1，T（2）= 2和T（3）= 3，如何用矩阵乘法法找到第n个tribonacci数。

如果T（n）= T（n-1）+ T（n-2）+ T（n-3）那么如果n非常大，如何找到T（n），如果有人可以，我将不胜感激用矩阵乘法法解释。如何构造初始矩阵。

Answer 1

矩阵乘法方法涉及使用矩阵递归关系。

对于Fibonacci系列，我们可以定义一个长度为2的向量来表示相邻的Fibonacci数。使用此向量，我们可以使用矩阵乘法定义递归关系：

同样，Tribonacci系列递归关系可以用这种方式编写：

唯一的区别是矢量和矩阵大小不同。

现在，要计算一个大的Tribonacci数，我们只应用矩阵乘法n次，我们得到：

可以有效地计算n（M ⁿ ）幂的矩阵，因为我们可以使用求幂算法。

维基百科在Exponentiation by Squaring中描述了许多用于标量的有效取幂算法。我们可以使用相同的思想进行矩阵求幂。

我将描述一种简单的方法。首先，我们将n写为二进制数，例如：

n = 37 = 100101

然后，通过平方先前的2的幂来计算M的每个幂2：M ¹ ，M ² = M ¹ M ¹ ，M ⁴ = M ² M ² ，M ⁸ = M < sup> 4 M ⁴ ，M ¹⁶ = M ⁸ M ⁸ ，M ³² = M ¹⁶ M ¹⁶ ，......

最后，乘以对应于n的二进制数字的M的幂。在这种情况下，M ⁿ = M ¹ M ⁴ M ³² 。

在计算之后，我们可以将矩阵与前三个值的Tribonacci向量相乘，即。

因为矩阵具有固定的大小，所以每个矩阵乘法需要恒定的时间。我们必须进行O(log n)矩阵乘法。因此，我们可以在O(log n)时间内计算出n ^th Tribonacci数。

将此与常规动态编程方法进行比较，通过计算每个Tribonacci数直到n ^th Tribonacci数（即O(n)），需要for (i = 3 to n) {T[i] = T[i-1]+T[i-2]+T[i-3];} return T[n];时间。

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我将假设您知道如何使用您选择的语言对矩阵乘法进行编码。

Answer 2

考虑：

                           | a1 b1 c1 |
[f(n) f(n - 1) f(n - 2)] * | a2 b2 c2 | = [f(n + 1) f(n) f(n - 1)]
                           | a3 b3 c3 |

根据该矩阵找到矩阵中的未知数，这将是您想要的矩阵。

本案的答案是：

1 1 0
1 0 1
1 0 0

该方法是通用的，但是，即使你在k之前的术语求和，即使它们前面有常量等，它也能正常工作。