大O用于有限的，固定大小的可能值集合

Question

This question引发了一些混淆和许多关于各种答案中提出的算法是O（1）还是O（n）的评论。

让我们用一个简单的例子来说明两个观点：

  

我们希望找到一个很长的x a * x + b = 0，其中a和b已知，非空长。

• 一个明显的O（1）算法是x = - b / a
• 一个慢得多的算法将包括测试每个可能的长值，平均约为2 ^ 63倍。

第二个算法是O（1）还是O（n）？

链接问题中提出的论点是：

• 它是O（n），因为在最坏的情况下，你需要遍历所有可能的长值
• 是O（1）because its complexity is of the form c x O(1)，其中c = 2^64是常数。

虽然我理解说它是O（1）的论点，但感觉反直觉。

ps：我添加了java，原始问题是Java，但这个问题与语言无关。

Answer 1

只有存在变量N时，复杂性才有意义。因此，问题没有任何意义。如果问题是：

  

一个慢得多的算法将包括测试N个值范围内的每个可能值，平均值会慢大N倍。

     

第二个算法是O（1）还是O（N）？

然后答案是：这个算法是O（N）。

Answer 2

Big O描述了算法的性能将如何缩放作为输入大小n缩放。换句话说，当您在更多输入数据上运行算法时。

在这种情况下，输入数据是固定大小，因此两种算法都是O（1），尽管具有不同的常数因子。

如果你用“n”表示数字中的位数（即你删除了它是64位长的限制），那么你可以分析给定的位大小n算法如何缩放。

在这种情况下，第一个仍然是O（1） （参见Qnan的评论），但第二个现在是O（2 ^ n）。< / p>

我强烈建议您观看MIT's "Introduction to Algorithms"课程的早期讲座。它们是对Big O（和Big Omega / Theta）的一个很好的解释，尽管我们很好地掌握了数学。

Answer 3

检查每个可能的输入是解决方案中位数的O（2 ^ N）。当你使位数保持不变时，两个算法都是O（1），你知道需要检查多少解决方案。

Answer 4

事实：您在计算机上实际运行的每个算法都是O（1），因为宇宙具有有限的计算能力（自大爆炸以来，有大量有限的原子和有限的秒数）。

这是事实，但不是一种考虑事物的非常有用的方式。当我们在实践中使用big-O时，我们通常假设所涉及的常数相对于渐近项是很小的，因为否则只给出渐近项并不能告诉你算法如何执行。这在实践中很有用，因为常量通常是“我使用数组还是哈希映射”，最多约为30x不同，输入为10 ^ 6或10 ^ 9，因此二次方之间的差异和线性算法比常数因子更重要。不遵守这一惯例的大O的讨论（如算法＃2）毫无意义。

Answer 5

无论a或b的值是多少，最坏的情况仍然是检查2 ^ 64或2 ^ 32或2 ^ somevalue值。该算法复杂度在O（2 ^ k）时间内，其中k是用于表示长值的位数，或者如果我们考虑a和b的值，则为O（1）时间。