Question

我有一个输入设备，可以给我3个角度 - 围绕x，y，z轴旋转。

现在我需要使用这些角度来旋转3D空间，而不需要万向节锁定。我以为我可以转换为Quaternions，但是apparently since I'm getting the data as 3 angles this won't help？

如果是这样的话，我怎样才能正确旋转空间，记住我的输入数据只是x，y，z轴的旋转角度，所以我不能只是“避免”那个。类似地，围绕轴旋转顺序移动也无济于事 - 无论如何都将使用所有轴，因此对周围的顺序进行改组将无法完成任何操作。但肯定有办法做到这一点吗？

如果有帮助，那么实现此功能几乎可以减少问题：

void generateVectorsFromAngles(double &lastXRotation,
                                                      double &lastYRotation,
                                                      double &lastZRotation,
                                                      JD::Vector &up,
                                                      JD::Vector &viewing) {
    JD::Vector yaxis = JD::Vector(0,0,1);
    JD::Vector zaxis = JD::Vector(0,1,0);
    JD::Vector xaxis = JD::Vector(1,0,0);
    up.rotate(xaxis, lastXRotation);
    up.rotate(yaxis, lastYRotation);
    up.rotate(zaxis, lastZRotation);
    viewing.rotate(xaxis, lastXRotation);
    viewing.rotate(yaxis, lastYRotation);
    viewing.rotate(zaxis, lastZRotation);
}

以避免万向节锁定的方式。

Answer 1

如果你的设备给你绝对的X / Y / Z角度（这意味着类似于实际的万向节），它将有一些特定的序列来描述旋转发生的顺序。

既然你说“顺序无关紧要”，这表明你的设备就像（几乎可以肯定的话）一个3轴速率陀螺仪，而你正在获得不同的角度。在这种情况下，您希望将3个差异角度组合成旋转矢量，并使用它来更新方向四元数，如下所示：

given differential angles (in radians):
  dXrot, dYrot, dZrot

and current orientation quaternion Q such that:
  {r=0, ijk=rot(v)} = Q {r=0, ijk=v} Q*

construct an update quaternion:
  dQ = {r=1, i=dXrot/2, j=dYrot/2, k=dZrot/2}

and update your orientation:
  Q' = normalize( quaternion_multiply(dQ, Q) )

请注意，dQ只是单位四元数的粗略近似值（这使得normalize()操作比平时更重要）。但是，如果您的差分角度不大，那么它实际上是一个很好的好近似值。即使您的差分角度大，这种简单的近似也比您可以做的许多其他事情少得多。如果您遇到大差分角度问题，可以尝试添加二次校正以提高准确性（如第三部分所述）。

然而，一个更可能的问题是任何类似的重复更新都会因为累积的算术错误（如果没有别的话）而漂移。此外，您的物理传感器会有偏差 - 例如，您的速率陀螺仪将具有偏移量，如果不进行校正，将导致您的方向估计值Q缓慢进动。如果这种漂移对您的应用很重要，那么如果您想维护一个稳定的系统，则需要一些方法来检测/纠正它。

如果确实存在大差分角度的问题，则存在用于计算精确更新四元数dQ的三角公式。假设总旋转角度应与输入矢量的大小成线性比例;鉴于此，您可以按如下方式计算精确更新四元数：

given differential half-angle vector (in radians):
  dV = (dXrot, dYrot, dZrot)/2

compute the magnitude of the half-angle vector:
  theta = |dV| = 0.5 * sqrt(dXrot^2 + dYrot^2 + dZrot^2)

then the update quaternion, as used above, is:
  dQ = {r=cos(theta), ijk=dV*sin(theta)/theta}
     = {r=cos(theta), ijk=normalize(dV)*sin(theta)}

请注意，直接计算sin(theta)/theta或normalize(dV)是单数接近零，但接近零的向量ijk的限制值只是ijk = dV = (dXrot,dYrot,dZrot)，如近似从第一节开始。如果你以这种方式计算更新四元数，那么直接的方法是检查这个，并使用小theta的近似值（这是极良好的近似值！）。 / p>

最后，另一种方法是对cos(theta)和sin(theta)/theta使用泰勒展开式。这是一种中间方法 - 一种改进的近似，可以提高准确度范围：

cos(x)    ~  1 - x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 ...
sin(x)/x  ~  1 - x^2/6 + x^4/120 - x^6/5040 ...

因此，第一部分提到的“二次校正”是：

dQ = {r=1-theta*theta*(1.0/2), ijk=dV*(1-theta*theta*(1.0/6))}
Q' = normalize( quaternion_multiply(dQ, Q) )

附加术语将扩展近似的精确范围，但如果每次更新需要超过+/- 90度，则应该使用第二部分中描述的精确触发功能。您还可以将泰勒展开与精确的三角解决方案结合使用 - 允许您在近似值和精确公式之间无缝切换可能会有所帮助。

Answer 2

我认为'万向节锁'不是计算/数学的问题，而是一些物理设备的问题。

鉴于您可以用XYZ旋转表示任何方向，那么即使在“万向节锁定点”，也是 XYZ表示，用于任何可以想象的方向变化。你的物理万向节可能无法以这种方式旋转，但数学仍然有效：）。

这里唯一的问题是你的输入设备 - 如果它是云台，那么它可以锁定，但你没有提供任何细节。

编辑：好的，所以在你添加一个功能之后我觉得我知道你需要什么。功能完全正确。但遗憾的是，您无法使用XYZ轴旋转获得一种简单，连续的方向编辑方式。即使在专业的3D软件包中，我也没有看到过这样的解决方案。

我唯一想到的就是将你的输入视为飞机转向 - 你只需要一些初始方向，你可以绕X，Y或Z轴旋转一定量。然后存储新方向并清除输入。 3DMax / Maya / Blender中的旋转以相同的方式完成。

如果您向我们提供有关您希望实现的实际使用情况的更多信息，我们可能会获得更好的想法。

围绕x，y，z轴旋转模型，没有万向节锁定，输入数据始终为x，y，z轴角度旋转

2 个答案: