在每个给定区域找到最小值的有效方法

Question

鉴于此 我们首先定义两个实值函数和，如下所示：

我们还为每个矩阵m(X)定义了一个值X，如下所示：

现在给定，我们有许多G区域，表示为。这里，G的区域由G的子矩阵形成，该子矩阵是从某些列和G的某些行中随机选择的。我们的问题是将计算为尽可能少的操作。有没有像构建哈希表或排序以更快地获得结果的方法？谢谢！

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例如，如果G={{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}}，那么

G_1 could be {{1,2},{7,8}}
G_2 could be {{1,3},{4,6},{7,9}}
G_3 could be {{5,6},{8,9}}

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目前，对于每个G_i，我们需要mxn比较来计算m(G_i)。因此，对于m(G_1),...,m(G_r)，应该进行rxmxn比较。但是，我注意到G_i和G_j可能重叠，因此会有一些更有效的方法。任何关注都将受到高度赞赏！

Answer 1

根据需要最小/最大类型数据的次数，您可以考虑一个矩阵，其中包含矩阵值之间的最小/最大信息，即在值之间的空隙中。因此，对于您的示例G = {{1,2,3}，{4,5,6}，{7,8,9}}我们将定义一个关系矩阵R size（（mxn），（mxn），（mxn））并且具有来自的值集合C = {-1 =小于，0 =等于，1 =大于}。

R将具有九个关系对（n，1），（n，2）到（n，9），其中每个值将是C的成员。注意（n，n被定义并且将等于0）。因此，R [4 ,,] =（1,1,1,0，-1，-1，-1，-1，-1）。现在考虑你的任何子集G_1 ......，知道子集成员的位置关系会给你偏移到R，这将解析为每个R（N ,,）的索引，它将直接返回所需的关系信息没有比较。

当然，您必须决定构建R的空间开销和计算是否超出了每次需要时计算所需内容的成本。某些优化包括实现R矩阵沿主要对角线反射并且你可以声明＆＃34;等于＆＃34;可以称为小于（意味着C只有两个值）。根据原始矩阵G，如果知道行或列已排序，则可以进行其他优化。

由于某些计算机（大型机，超级计算机等）以列主要顺序将数据存储到RAM中，因此存储数据集以使其填充转置的行和列，从而允许列到列类型的操作（向量计算） ）实际上支持列。检查你的架构。