（我在这里敲我的头。让X = {x1，x2，...，xn}是一个整数集。让A1，A2，... Am是X的m个子集。对于任何我和j，Ai和Aj不一定是不相交的。现在的目标是有效地找到每个Ai（i = 1，...，m）的最大值，操作次数尽可能少。
例如，给定X = {2,4,6,3,1}，其子集A1 = {2,3,1}，A2 = {2,6,3,1}，A3 = {4 ，2,3,1}。我们需要分别找到Max {A1}，Max {A2}，Max {A3}。
查找Max {A1}，Max {A2}，Max {A3}的强力方法是扫描每个Ai中的所有元素，并且需要（m * d）个操作，m个子集的数量X，和d的子集{Ai}的平均长度。
现在，我有一些观察：
（1）对于任何集合Y⊆X，max {Y}≤max{X}，
例如，由于Max {X} = 6且6在A2中，因此可以直接找到Max {A2} = 6。
（2）对于任何两个集A和B，如果A∩B非空，则可以如下识别Max {A}和Max {B}：
首先，我们找到A和B之间的公共部分，取而代之的是c = max {A∩B}。
然后，我们发现Max {A} = Max {Max {A-（A∩B）}，c}和Max {B} = Max {Max {B-（A∩B）}，c}。< / p>
我不确定是否还有一些其他有趣的事情可以找到这些最大值。 热烈欢迎任何想法！
我的问题是，如果对于一般情况，当X = {x1，x2，...，xn}并且有m个子集X时，表示为A1，A2，... Am，是否有一些更高效找到这样的最大值Max {Ai}（i = 1，...，m）的技术？
非常感谢您的帮助！
答案 0 :(得分：5)
假设给定集合的典型表示，没有方法渐近地比蛮力更好。只需扫描集合以找到每个集合中最大的成员需要线性时间和线性时间是最佳的，因为必须读取集合中的每个成员才能确定最大值。
现在，如果输入表示不仅仅是每个集合中元素的列表，则可以应用其他边界和算法。例如，如果我们知道输入集被排序并且集合的长度作为输入的一部分给出，我们显然可以在时间上找到线性的最大元素仅仅是子集的数量而不是它们的长度。
答案 1 :(得分：3)
如果您的集合是在哈希中实现的（或者更常见的是，如果您可以在O（1）时间内检查集合中是否存在值），则可以改进蛮力方法。
不是迭代子集的元素并保持最大值，而是按降序迭代父集的元素，检查子集中是否存在这些元素。第一个找到的元素必然是子集的最大值。从技术上讲，在一般情况下，这仍然需要O（n）时间（n =子集生命力），但在实践中通常会带来很大的性能优势。 （如果您有关于子集的数量和大小的任何数据，并且他们喜欢这种方法，您可以在平均情况下改进O（n）。）
这种方法需要对父集合的元素（n log n）进行排序，但是，如果子集的数量远远大于父集合的生命力，那么它可能是值得的。