Question

给出了一个地点，用矩阵表示，每个条目表示该地区的汽车数量。我们的任务是将一个汽油泵放在矩阵的一个入口处，这样我们选择的块就可以降低旅行成本。

我找到了一个解决方案，花费O(n^4)时间来计算每个条目的整个过程。

你能告诉我这个问题的其他任何好方法吗？

Answer 1

如果我已正确理解你的问题，那么你的成本函数正如Haile在他/她的评论中描述的那样，有一个简单的解决方案，因为你可以减少到一维问题。

请注意，在曼哈顿指标中，汽车必须经过的列中的距离只是与行中的距离相加，因此我们可以单独将它们最小化。

因此我们将问题缩小到一个维度。为了弄清楚发生了什么，我不得不把它改成一个连续的问题。所以假设我有一个密度函数p（x），（假设它是连续的紧凑支持，所以数学有效）。然后成本函数由

给出

$\int p(x) |x-x0|$

将这个分成两半以摆脱mod符号并区分（这是你需要假设p（x）表现良好的地方），你得到

$\int_-\infty^x_0 p(x) - \int_{x_0}^\infty p(x)$

现在，x0的最佳位置将是使该导数为零的位置。但请注意，这是分布的中位数。

对于离散设置，这是原始问题，相同的参数有效。基本上你可以采用离散导数，即E（k + 1）-E（k）。如果你为位置n的汽车数量写了[n]，那么成本函数就会分解为

$E(k) = \sum_{n<k} a_n(k-n) + \sum_{n>k} a_n(n-k)$

假设我没有犯下一个愚蠢的错误，那么离散导数就是

$E(k+1)-E(k) = \sum_{n<k+1} a_n - \sum_{n>k+1} a_n$

所以解决方案将再次处于中位数（如果最终为半整数，则以任一方式舍入）。要知道为什么这是真的，请注意，如果k是一个较大的负数，则此导数肯定是负数（因此将k增加1将降低成本）。现在，随着k增加，导数缓慢增加。在某些时候，它将首次成为积极的。一旦k + 1大于中值，就会发生这种情况。之后，它将保持正值，因此选择正确的k是小于或等于中位数的最大k。

原始问题是二维的，所以你需要运行两次，每个轴运行一次。

Answer 2

我将用一个实际的例子来扩展鲁珀特的答案（即如何计算他称之为中间行和列的内容）。

正如他所说，您可以分别找到泵的最佳行和最佳列。怎么样？

让我们考虑以下问题的实例：

3 2 7
1 8 9 
7 2 2

首先，我们找到泵的最佳行

我们开始添加矩阵的所有行

3 2 7 -> 12
1 8 9 -> 18
7 2 2 -> 11

现在如果我们将泵放在第一行，总垂直成本是

11*2 + 18*1 + 12*0 = 30

由于第3排的11辆汽车必须行驶2个垂直单元，因此第2排的18辆汽车必须行驶1个垂直单元，第1排的汽车不必垂直行驶。我们必须计算所有行的总垂直旅行成本。

pump in 1st row -> cost 30 = 11*2 + 18*1 + 12*0
pump in 2nd row -> cost 23 = 11*1 + 18*0 + 12*1
pump in 3rd row -> cost 42 = 11*0 + 18*1 + 12*2

所以泵的最佳行是第二行。

我们在O（n ^ 2）中计算了这个，因为我们在 n 行中对所有 n 汽车求和时得到了O（n ^ 2）和，当我们计算泵的每个可能行的总垂直成本时，我们做了O（n ^ 2）和和乘法。

现在我们找到了泵的最佳色谱柱

我们总结每列中的汽车：

现在：

pump in 1st col -> cost 48 = 11*0 + 12*1 + 18*2
pump in 2nd col -> cost 29 = 11*1 + 12*0 + 18*1
pump in 3rd col -> cost 34 = 11*2 + 12*1 + 18*0

所以泵的最佳色谱柱是第二个。

在O（n ^ 2）步骤中，我们发现必须将泵置于[2] [2] 中。

汽油泵的建立算法

2 个答案: