Question

我在3个空间中有两个环，每个环由法向量，中心坐标和半径表示。如何确定环是否已链接。即一个圆上的一个点位于另一个圆盘中。

这将在紧密循环中实现，所以我关注性能。我觉得应该有一个封闭的形式解决方案。到目前为止，我只想过迭代解决方案。

任何帮助？

Answer 1

算法概要：

处理圆圈平面或平行的情况。
找到圆圈平面的交线。
使用此行查找圆圈的交点。
与线的所有圆交点都在两个平面上。我们现在可以进行距离检查以查看圈子是否已链接。

详细说明：

我假设圆C1和C2由中心点（p1，p2），单位法线轴向量（n1，n2）和半径（r1，r2）给出。

如果某个标量k的n1 == k n2，那么这些平面是平行的或并发的。如果它们是并发的，这就变成了普通的2d问题：检查是否dist（p1，p2）＆lt; R1 + R2。

否则，平面在线L处相交。如果圆被链接，则它们必须都与L相交，因为链接意味着它们相互穿过彼此的定义平面。这为您提供了第一次琐碎的拒绝测试。

L由点q和向量v给出。查找v很容易：它只是n1和n2的叉积。 q有点棘手，但我们可以选择最接近线的点

l1(s) = p1 + s (v X n1)
l2(t) = p2 + t (v X n2)

这些线垂直于v，n1和n2，并且位于C1和C2的平面上。他们最接近的点必须在L。

您可以参考this post了解如何找到最近点的点。

最后，圆圈可以相交的唯一方法是它们在L上都有点。如果它们都有，那么考虑C1和L的交点，因为它们与C2有关。如果C1和L有两个交点q11和q12，并且完全其中一个在C2内，则链接起来。由于L在C2的平面上，因此这成为平面圆点测试：

IF dist(p1, q11) < r1 THEN
    linked = (dist(p1, q12) > r1)
ELSE
    linked = (dist(p1, q11) < r1)
ENDIF

当然这个伪代码对于处理圆圈实际相交的情况有点草率，但应该如何处理它取决于你的应用程序。

Answer 2

一个相对容易编码的直接解决方案：计算两个平面的交点线并旋转并将所有内容（在我的情况下是定义两个圆的六个点）翻译在一起，以便该线成为Z轴（x = Y = 0）。然后，平面可以围绕Z单独旋转，使得第一个圆C1位于XZ平面上，C2位于YZ平面上。现在中心和半径很容易找到（在我的情况下，我最初没有它们）。这些旋转不会改变链接/无链接属性，并且可以根据具有Z轴的圆的四个交点的顺序容易地确定链接或缺少链接。（如果其中一个圆不相交x = y = 0，则没有链接。）（我可能会混淆轴，但我认为这样可行。）谢谢。

Answer 3

这是3D圆盘交叉问题吗？或者，这是圆圈交叉问题吗？

如果是前者，则有一种快速，封闭的形式算法。首先，清除圆圈太远的情况：dist(CIR1.c, CIR2.c) > CIR1.r + CIR2.r

处理边缘案例：共面圆圈。

将磁盘挤压到其平面，然后将圆与此平面相交。如果有1个或2个交叉点，请测试它们是否符合pointInDisk(p, CIR)逻辑。报告任何幸存的交叉点。

Answer 4

计算几何教科书可能有一个很好的解决方案！

但我现在还没有方便的计算几何教科书。如果我现在要根据自己的（非常有限的）直觉推动我自己，我想我会从三维轴对齐的边界框开始。

例如，创建一个“刚好在圆圈内”的边框，以及一个“刚刚在圆圈外”的边界框。我相信弄清楚两个轴对齐的盒子是否重叠是微不足道的（我曾经在二维情况下谈到相关问题的家庭作业第2.1节 - 找到最接近某个点的矩形：http://juliusdavies.ca/uvic/report.html）

我怀疑以下断言会成立（但我可能错了）：

如果内盒重叠，那么环肯定是连接的。（我现在认为这是错误的......）
如果外框不重叠，那么它们肯定没有连接---我非常有信心这个断言成立！ :-)： - ）
如果外框重叠，但内框不重叠，则可能会连接它们。

如果我自己动手，那就是我开始的地方。

结论：嗯，我希望你对其他答案有更好的运气。： - ）

如何判断两个环（3d中的圆圈）是否已链接

4 个答案: