用于产生两个间隔集合的差异的算法

Question

问题

假设我有两个间隔集合，名为A和B.如何以最节省时间和内存的方式找到差异（相对补充）？

图片说明：

区间端点是整数（≤2 ¹²⁸ -1）并且它们总是长2 ⁿ 并且在m×2上对齐 ⁿ 晶格（所以你可以用它们制作二叉树）。

间隔可以在输入中重叠，但这不会影响输出（如果展平，结果会相同）。

问题是因为两个集合中有多个间隔（最多100,000,000），所以天真的实现可能会很慢。

从两个文件中读取输入，并按照这样的方式对输入进行排序：较小的子间隔（如果重叠）紧接在父项之​​后按大小排序。例如：

[0,7]
[0,3]
[4,7]
[4,5]
[8,15]
...

我尝试了什么？

到目前为止，我一直致力于生成二进制搜索树的实现，同时聚合两个集合中的相邻间隔（[0,3],[4,7] => [0,7]），然后遍历第二个树并“突破”间隔存在于两者中（必要时在第一个树中细分较大的间隔）。

虽然这似乎适用于小型集合，但它需要越来越多的RAM来保存树本身，更不用说完成从树中插入和删除所需的时间。

我认为由于间隔是预先排序的，我可以使用一些动态算法并在一次通过中完成。但是，我不确定这是否可行。

---

那么，我将如何以有效的方式解决这个问题呢？

免责声明：这不是作业，而是对我所面临的实际现实问题的修改/概括。我用C ++编程，但我可以接受任何[命令式]语言的算法。

Answer 1

回想一下我们在学校回来的第一次编程练习 - 写一个计算器程序。从输入行获取算术表达式，解析它并进行评估。还记得跟踪括号的深度吗？所以我们走了。

类比：间隔起点是开括号，结束点 - 结束括号。我们跟踪括号深度（嵌套）。两个交点间隔的深度，一个深度 - 间隔的差异

算法：

• 无需区分A和B，只需按升序排序所有起点和终点
• 将括号深度计数器设置为零
• 从最小点开始迭代终点。如果它是一个起点，则增加深度计数器，如果它是一个结束点，则递减计数器
• 跟踪深度为1的间隔，即A和B差异的间隔。深度为2的区间是AB交叉点

Answer 2

您的间隔时间很长。你可以在几乎没有记忆的线性时间内完成这项工作。

首先“展平”你的两套。这是针对集合A，从最低间隔开始，并组合任何重叠间隔，直到您设置了没有重叠的间隔。然后为B做那个。

现在拿两组，从前两个区间开始。我们将这些称为A和B，Ai和Bi的区间索引。

Ai将A中的第一个间隔编入索引，B是B中的第一个间隔。

虽然有一些间隔需要处理，但请执行以下操作：

考虑两个区间的起点，起点是否相同？如果是这样，将两个间隔的起点提前到较小间隔的终点，则不向输出发射任何内容。将较小间隔的索引前进到下一个间隔。 （即如果Ai在Bi之前结束，则Ai前进到下一个间隔。）如果两个间隔都在同一个地方结束，则前进Ai和Bi并且不发出任何内容。

一个起点是否早于另一个起点？如果是，则从较早的起始点发出间隔到a）后一个终点的开始，或b）较早结束点的结束。如果选择选项b，则提前预测片段的索引。

因此，例如，如果Ai的间隔首先开始，则发出从Ai的开始到Bi的开始或者以Ai为小的结束的间隔。如果Ai在Bi开始之前就结束了，你就会推进艾。

重复直到消耗所有间隔。

聚苯乙烯。我假设您没有备用内存来将两个间隔集平展为单独的缓冲区。这有两个功能。一个“获取下一个间隔”函数，用于推进间隔索引，根据需要进行展平，并将展平数据提供给差分函数。

Answer 3

您要找的是Sweep line algorithm。 一个简单的逻辑应该告诉你扫描线何时与A和B中的间隔相交，并且它只与一组相交。

这与此problem非常相似。只要考虑一组垂直线穿过B段的终点。

该算法复杂度为O（（m + n）log（m + n）），这是初始排序的成本。排序集上的扫描线算法需要O（m + n）

Answer 4

我认为你应该使用boost.icl（Interval容器库） http://www.boost.org/doc/libs/1_50_0/libs/icl/doc/html/index.html

#include <iostream>
#include <boost/icl/interval_set.hpp>

using namespace boost::icl;

int main()
{
  typedef interval_set<int> TIntervalSet;
  TIntervalSet intSetA;
  TIntervalSet intSetB;

  intSetA += discrete_interval<int>::closed( 0, 2);
  intSetA += discrete_interval<int>::closed( 9,15);
  intSetA += discrete_interval<int>::closed(12,15);

  intSetB += discrete_interval<int>::closed( 1, 2);
  intSetB += discrete_interval<int>::closed( 4, 7);
  intSetB += discrete_interval<int>::closed( 9,10);
  intSetB += discrete_interval<int>::closed(12,13);

  std::cout << intSetA << std::endl;
  std::cout << intSetB << std::endl;

  std::cout << intSetA - intSetB << std::endl;

  return 0;
}

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{[0,2][9,15]}
{[1,2][4,7][9,10][12,13]}
{[0,1)(10,12)(13,15]}