Question

较高范围的浮点数可以比较低范围更准确地乘以/除/加/减。

例如，567.56 / 345.54会比.00097854 / .00021297更精确吗？

Answer 1

你的问题的答案是“不”。浮点数（通常为*）用标准化的尾数和指数表示。乘法和除法首先在标准化的尾数上运行，然后在指数上运行。

加法和减法当然是另一个故事。像你的例子一样的操作：

 567.56 + 345.54 or .00097854 - .00021297

工作正常。但是具有不同数量级的操作如

 567.56 + .00097854    or  345.54  - .00021297

可能会失去一些低阶精度。

IEEE浮点标准包括非规范化数字。如果您是天体物理学家或运行时库开发人员，您可能需要了解它们。请参阅http://en.wikipedia.org/wiki/Denormal_number

Answer 2

对于IEEE 754二进制浮点数（最常见），浮点值在指数范围的大部分时间内具有相同的位数。然而，存在有效位数实际上更少位的范围的一部分。并且由舍入引起的相对误差确实取决于有效数位于其范围内的位置。

IEEE 754浮点数用符号表示（+1或-1，编码为0或1），指数（对于双精度，-1022到1023，编码为指数加1023，所以1到2046）和有效数（对于双精度，通常从1到2的分数，用53位表示但用52位编码，因为第一位隐式为1）。

，例如，数字6.5用位0（符号+1），10000000001（指数2）和1010000000000000000000000000000000000000000000000000（二进制分数1.1010，十六进制1.a，十进制1.3125）编码。我们可以用十六进制浮点写为0x1.ap2（十六进制分数1.a乘以2得到小数2的幂）。以十六进制浮点写入使人类能够相当容易地看到浮点表示。

对于指数，编码值0和2047是特殊的。当编码为0时，指数与编码为1（-1022）时相同，但分数的隐含位为0而不是1.当编码为2047时，浮点对象表示无穷大（如果有效位数都是零）或NaN（否则）。

当编码指数为0且有效位数均为零时，该数字表示零（其中+0和-0由符号区分）。如果有效位不是全为零，则认为该数字是非规范化的。这是因为通过调整指数使大多数数字“归一化”，使得分数在1（包括）和2（不包括）之间。对于非规范化数，分数小于1;它以“0”而不是“1”开头。

当浮点运算的结果是非正规化数时，它实际上在有效数中具有较少的位。因此，当数字低于0x1p-1022（2 ^-1022）时，有效精度会降低。

当数字在正常范围内时（不会下溢到非正规数而不会溢出到无穷大），那么不同指数的数字的有效数没有差异，所以：

（2a + 2b）/ 2与a + b具有完全相同的结果。
（2a-2b）/ 2具有与a-b完全相同的结果。
（2ab）/ 2与ab。

但请注意，相对错误可能会发生变化。执行浮点运算时，必须将精确的数学结果四舍五入为可表示的值。这种舍入只能在有效数字表示的单位中发生。对于给定的指数，有效数字中的位具有固定值。因此有效数字中的最后一位表示某个值。该值是接近1的有效数的一部分，而不是接近2的有效数。

对于双精度结果，最小精度单位（ULP）是有效数中最大位的值的2 ⁵²中的1分。当使用舍入到最近模式（最常见的默认值）时，最大误差最多只有一半，因为，如果一个方向上的可表示数字超过ULP的一半，则另一个方向上的数字会减少超过ULP的一半。并且通过适当的浮点运算返回更接近的数字。

因此，有效数接近1的结果中的最大相对误差略高于2 ^-53，但有效数接近2的结果中的最大相对误差略低于2 ^-54

Answer 3

为了完整起见，我不得不反对并说出是，这可能会有所影响......
实际上，如果你执行56756.0 / 34554.0，那么你将获得最接近的可表示的Float到精确的数学结果，一个浮点舍入“错误”。
这是因为56756.0和34554.0可以完全表示浮点（单精度或双精度IEEE 754），并且因为根据IEEE 754标准，操作执行精确的舍入操作（在默认模式下最接近）。

如果你写了567.56 / 345.54，那么这两个数字都没有完全用基数2中的浮点表示，所以这个操作的结果是累计3个浮点舍入“错误”。

让我们比较Squeak Smalltalk的双精度（Float）结果，转换为精确算术（分子和分母处任意整数长度的分数）：

((56756.0 / 34554.0) asFraction - (56756 / 34554)) asFloat.
-> -7.932275867322412e-17

到目前为止，如此好，误差幅度小于或等于半个ulp，正如IEEE 754所承诺的那样：

(56756 / 34554) asFloat ulp / 2
-> 1.1102230246251565e-16

累积舍入误差可能会导致更大的误差（但绝不会更小）：

((567.56 / 345.54) asFraction - (56756 / 34554)) asFloat
-> -3.0136736359825544e-16

((0.00056756 / 0.00034554) asFraction - (56756 / 34554)) asFloat
-> 3.647664511768385e-16

上面的例子很难概括，我完全同意其他答案：一般来说， NO ，你应该只关心相对精确度。
...除非你想要实现一些对舍入错误有非常严格容忍度的函数......

Answer 4

没有。从某种意义上说，无论你的数字的数量级（指数部分）是多少，都有相同数量的有效数字。

如果使用一系列高值而不是低值计算，浮点数是否具有更高的精度？

4 个答案: