Question

我在互联网上阅读了2 {3 binary indexed tree（AKA Fenwick树）的教程，但我不明白它实际上做了什么以及BIT背后的想法是什么。我读过的教程是

请帮助我了解BIT。

Answer 1

顶级编码器文章不太清楚。这是一个可以帮助你入门的重要创意。

BIT适合存储从整数到整数f[i]的密集地图，其中i >= 1并且您有兴趣检索地图域范围内的总和，即任意{sum_{i = a..b} f[i] a 1}}和b。如果你用C编码，那将是：

sum = 0; for (i = a; i <= b; i++) sum += f[i];

对于大多数f[i]>0来说，密集我的意思是i。如果您有稀疏映射，则其他数据结构更好。

BIT可让您加快此计算速度，以便总和的运行时间 - 而不是与b - a成正比 - 而是与log(b+a)成比例。插入新元素的时间与此类似。

为此，BIT会存储不同的地图g[k]而不是f[i]。 g的内容以巧妙的方式定义。

g[k] = sum_{i = k - d + 1 .. k} f[i]

其中d是k的值，除最低位之外的所有位都设置为零。例如，如果k=8，则为d=8。如果k=14，则d=2等

注意没有明确的树。树是合乎逻辑的，如教程图片所示。唯一的存储是数组g。

为什么这是个好主意？事实证明，要查找sum_{i = a..b} f[i]，您只需要总结2 ceiling(log(b+a))个g元素。可以通过分析a和b的二进制1位来确定这些元素。详细信息显示在教程中。

最简单的示例：如果您需要sum_{i = 1..p} f[i]，则构建一系列索引p_1，p_2，... p_n其中p_1 = p和{通过从p_(i+i)中删除最低阶1位来形成{1}}。因此，p_i比n的二进制表示中的1的数量少一个。现在只需计算

如果你进行实验并稍微考虑一下（双关语），你会明白为什么会这样。

Answer 2

二进制索引树也称为Fenwick树，我认为二进制索引树与Fenwick树相比鲜为人知，所以当我们找到二进制索引树时，我们找到的材料较少，但这只是我的感觉！

简单来说，Fenwick树（也称为二进制索引树）是一种维护元素序列的数据结构，能够计算O（logn）时间内任何范围的连续元素的累积和。更改任何单个元素的值也需要O（logn）时间。该结构节省空间，因为它需要与n个元素的简单数组相同的存储量。

上面说明的一个实际例子可以在网上的各个地方找到，即

网上还有很多例子......

Answer 3

二进制索引树是一种允许通过其前缀检索值的数据结构。我对二进制索引树的理解是它们或多或少类似于尝试。例如，假设您有三个数字1323,1697和1642.您可以将数字存储在树中：

1-3-2-3  
 -6-9-7  
   -4-2

其中每个节点代表一个10s的位置。现在你可以查找任何数字，就像你可以在电话簿中查找一个名字，一个字母。在这里，每个节点都是10秒，但您可以选择不同的基础以使表示尽可能紧凑。例如，您可以使用base 8，在这种情况下，每个节点存储4位。

此数据结构允许您轻松添加数字。例如，假设您要添加数字＃1（1323）和＃3（1642）。然后你从表示每个数字的叶子开始向上工作，乘以基数的幂（这里是10）：3 + 2，然后是（2 + 4）* 10，然后是（6 + 3）* 100，然后（1 + 1）* 1000。

Answer 4

BIT是一件非常奇特的事情，了解它的关键是了解快速分段算法的工作原理。

快速分段算法的基本概念＆amp;数据结构是＆＃39; skip＆＃39; something.Think关于数组a [1..n]的整数。现在你想要另一个数组C [1..n]，in C [i]包含C [i]，C [i-1]到C [k（i）]之和（k是某种神奇函数（OO））。

当你想得到[1..i]的总和时，你可以写：

    int get_sum(int i) {
        if (i == 0)
            return 0;
        return get_sum(k(i)-1)+C[i];
    }

理解这一点很简单吗？我们只使用C [i] = sum（a [k（i）.. i]）而不是通过整个段。当我们想要更改某个元素时，我们使用一个名为＆＃39;添加（pos，i）＆＃39;意味着在[pos]中添加i：

（k＆＃39;（x）是函数返回最小y> = x表示k（y）＆lt; = x）

    void add(int pos, int i) {
        if (pos <= n) {
            C[pos] += i;
            add(k'(pos), i);
        }
    }

代码的核心也是“跳过”。很明显C[k'(pos)]是其控制段（C [k（i）.. i]的最小元素）＆＃39;包含C [pos]。我们只更新与C [pos]绑定的元素，而不是处理所有元素。

现在问题变成：＆＃39;找出合适的k（x）＆amp; k＆＃39;（x）完成代码＆＃39;。 k(x) = x-sqrt(n)是一个简单的函数，上面的操作是O（sqrt（n））。那么更好的选择是功能BIT（i）。

BIT（i）是计算第一个＆＃39; 1＆＃39;在i的二进制文件中，例如：

    (110100)2 --BIT--> (100)2
    (111)2    --BIT--> (1)2
    (100000)2 --BIT--> (100000)2

计算BIT的一种快速方法是使用二元运算符：

    BIT(x) = x & ((~x) + 1)

让我们假设x = (101100)2, ~x = (010011)2, (~x)+1 = (010100)2, x & ((~x) + 1) = (000100)2。它真的有用！ (~x)+1使除BIT（x）之外的所有位都相反，并且＆＃39;＆amp;＆＃39;清除无用的位。

因为-x =（~x）+1（看看负整数如何变成二进制） BIT（x）= x＆amp; （-x）

现在我们获得了强大的功能。我没有解释这个方法（你自己理解它们会更好）：

    k(i) = i-BIT(i)+1
    k'(i) = i+BIT(i)

尝试使用k＆amp; K＆＃39;看到上面的代码。

图表来自互联网