Question

您在Javascript中拥有此代码（即使语言选择无关紧要）：

var arr = new Array(101);
for (skip = 1; skip <= 100; skip++) {
    for (i = 0; i <= 100; i+= skip) {
        arr[i] = !arr[i];
    }
}

显然，运行此代码后，数组中会出现一堆true和false值。如果arr [i]被触摸了很多次，那将是错误的，否则它将是真的。

问题是这些价值形成的模式是什么？你能否快速判断arr [15]是否属于假？怎么样arr [81]？

我知道答案（当x是某个整数的平方时，arr [x]将为真），但我不明白的是我在面试中应该如何快速提出它？

奖励问题是这段代码的时间复杂度，假设您为N个数组元素执行此操作（我将在下面回答）？

Answer 1

所有完美的方形物品都是真的，其他都是假的。

这可以通过以下事实来解释：完美正方形具有奇数个独特因子，而所有其他因子具有偶数。这是因为完美正方形的平方根只算作一个因素。

对于每个因素，数字都会切换一次，例如：

12 -> 1, 2, 3, 4, 6, 12 -> an even number, so still false
16 -> 1, 2, 4, 8, 16 -> an odd number, so true

奖励：算法执行n + n / 2 + n / 3 ...切换，产生O（n log n）时间（在另一个答案中解释得更好）。

Answer 2

如果对N个元素进行，则会有N + N / 2 + N / 3 + ...运算。它是一个谐波系列，并且该系列的部分和具有对数增长。因此，时间复杂度为O（n * log n）

Answer 3

所有带整数平方的数字都为真，其他数字为假。

证明：

我们将看到只有奇数的数字才能将它们分开：

表示数字N> 0

根据代数的一个句子，有k个不同的素数p1，p2，... pk和非零整数m1 m2，...，mk

这样：N = p1 ^ m1 * p2 ^ m2 ... pk ^ mk。

因此，划分N =

的数字的数量

（m1 + 1）（m2 + 1） ... *（mk + 1）。这就是组合学。

这个数字是奇数＆lt; =＆gt;对于每个1＆lt; = j＆lt; = k，mj + 1是奇数＆lt; =＆gt;对于每个1＆lt; = j＆lt; = k，mj是偶数＆lt; =＆gt;存在n1，n2，...，nk非零元素，例如mj = 2nj，每1 <= j <= k。

所以我们得到：

N = p1 ^ 2n1 * p2 ^ 2n2 .. pk ^ 2nk =＆gt; N =（p1 ^ n1 * p2 ^ n2 ... pk ^ nk）^ 2，正如我们想要的那样。

这是一个数学证明。