稳定合并两个阵列以最大化相邻元素的产品

Question

以下是一个面试问题，我无法以复杂性而非复杂性来回答这个问题。虽然它似乎是一个DP问题，但我无法形成基本案例并对其进行适当分析。任何帮助表示赞赏。

  

您将获得2个大小为'n'的数组。你需要稳定合并   这些数组使得在新数组中连续的乘积和   元素最大化。

例如

  

A = {2,1,3}

     

B = {3,7,9}

稳定合并A.  和B将给出一个带有'2n'元素的数组C，比如C = {c1，c2，c3，c4，  c5，c6}你需要通过合并（稳定）A和B来找到一个新的数组C.  这样sum = c1 * c2 + c3 * c4 + c5 * c6 ..... n条款最大。

Answer 1

让我们将c [i，j]定义为相同问题的解决方案但是数组从i开始到左边结束。并且j结束为正确。 因此c [0,0]将解决原始问题。

c [i，j]由。

组成

1. MaxValue =最大值。
2. NeedsPairing = true或false =取决于最左边的元素是不成对的。
3. Child = [p，q]或NULL =定义子键，最终达到此级别的最佳总和。

现在定义此DP的最佳子结构

c[i,j] = if(NeedsPairing) { left[i]*right[j] } + Max { c[i+1, j], c[i, j+1] }

此代码中详细捕获了它。

if (lstart == lend)
{
    if (rstart == rend)
    {
        nodeResult = new NodeData() { Max = 0, Child = null, NeedsPairing = false };
    }
    else
    {
        nodeResult = new NodeData()
        {
            Max = ComputeMax(right, rstart),
            NeedsPairing = (rend - rstart) % 2 != 0,
            Child = null
        };
    }
}
else
{
    if (rstart == rend)
    {
        nodeResult = new NodeData()
        {
            Max = ComputeMax(left, lstart),
            NeedsPairing = (lend - lstart) % 2 != 0,
            Child = null
        };
    }
    else
    {
        var downLef = Solve(left, lstart + 1, right, rstart);

        var lefResNode = new NodeData()
        {
            Child = Tuple.Create(lstart + 1, rstart),
        };

        if (downLef.NeedsPairing)
        {
            lefResNode.Max = downLef.Max + left[lstart] * right[rstart];
            lefResNode.NeedsPairing = false;
        }
        else
        {
            lefResNode.Max = downLef.Max;
            lefResNode.NeedsPairing = true;
        }

        var downRt = Solve(left, lstart, right, rstart + 1);

        var rtResNode = new NodeData()
        {
            Child = Tuple.Create(lstart, rstart + 1),
        };

        if (downRt.NeedsPairing)
        {
            rtResNode.Max = downRt.Max + right[rstart] * left[lstart];
            rtResNode.NeedsPairing = false;
        }
        else
        {
            rtResNode.Max = downRt.Max;
            rtResNode.NeedsPairing = true;
        }

        if (lefResNode.Max > rtResNode.Max)
        {
            nodeResult = lefResNode;
        }
        else
        {
            nodeResult = rtResNode;
        }
    }
}

我们使用memoization来防止再次解决子问题。

Dictionary<Tuple<int, int>, NodeData> memoization = new Dictionary<Tuple<int, int>, NodeData>();

最后我们使用NodeData.Child追溯路径。

Answer 2

对于A = {a1，a2，...，an}，B = {b1，b2，...，bn}，

将DP [i，j]定义为{ai，...，an}和{bj，...，bn}之间的最大稳定合并和。

（1＆lt; = i＆lt; = n + 1,1＆lt; = j＆lt; = n + 1）

DP [n + 1，n + 1] = 0，DP [n + 1，k] = bk * bk + 1 + ... + bn-1 * bn，DP [k，n + 1] = ak * ak + 1 + ... + an-1 * an。

DP [n，k] = max {an * bk + bk + 1 * bk + 2 + .. + bn-1 * bn，DP [n，k + 2] + bk * bk + 1}

DP [k，n] = max {ak * bn + ak + 1 * ak + 2 + .. + an-1 * an，DP [k + 2，n] + ak * ak + 1}

DP [i，j] = max {DP [i + 2，j] + ai * ai + 1，DP [i，j + 2] + bi * bi + 1，DP [i + 1，j + 1] + ai * bi}。

你返回DP [1,1]。

说明： 在每个步骤中你必须考虑3个选项：从剩余的A中取出前2个元素，从剩余的B中取出前2个元素，或者从A和B中取两个元素（因为你不能改变A和B的顺序，你将拥有取A中的第一个和B中的第一个。

Answer 3

我的解决方案很简单。我只是探索所有可能稳定的合并。遵循工作的C ++程序：

#include<iostream>

using namespace std;

void find_max_sum(int *arr1, int len1, int *arr2, int len2, int sum, int& max_sum){
  if(len1 >= 2)
    find_max_sum(arr1+2, len1-2, arr2, len2, sum+(arr1[0]*arr1[1]), max_sum);
  if(len1 >= 1 && len2 >= 1)
    find_max_sum(arr1+1, len1-1, arr2+1, len2-1, sum+(arr1[0]*arr2[0]), max_sum);
  if(len2 >= 2)
    find_max_sum(arr1, len1, arr2+2, len2-2, sum+(arr2[0]*arr2[1]), max_sum);
  if(len1 == 0 && len2 == 0 && sum > max_sum)
    max_sum = sum;
}

int main(){
  int arr1[3] = {2,1,3};
  int arr2[3] = {3,7,9};
  int max_sum=0;
  find_max_sum(arr1, 3, arr2, 3, 0, max_sum);
  cout<<max_sum<<endl;
  return 0;
}

Answer 4

将F(i, j)定义为稳定合并Ai...An和Bj...Bn可以实现的最大成对和。

在合并的每个步骤中，我们可以选择以下三个选项之一：

1. 获取A。
的前两个元素
2. 取A的第一个剩余元素和B的第一个剩余元素。
3. 获取B。
的前两个元素

因此，F(i, j)可以递归定义为：

F(n, n) = 0
F(i, j) = max
(
    AiAi+1 + F(i+2, j), //Option 1
    AiBj + F(i+1, j+1), //Option 2
    BjBj+1 + F(i, j+2)  //Option 3
)

为了找到两个列表的最佳合并，我们需要找到F(0, 0)，天真地，这将涉及多次计算中间值，但通过缓存每个F(i, j)，发现复杂性减少到O(n^2)。

这是一些快速而又脏的c ++：

#include <iostream>

#define INVALID -1

int max(int p, int q, int r)
{
    return p >= q && p >= r ? p : q >= r ? q : r;
}

int F(int i, int j, int * a, int * b, int len, int * cache)
{
    if (cache[i * (len + 1) + j] != INVALID)    
        return cache[i * (len + 1) + j];

    int p = 0, q = 0, r = 0;

    if (i < len && j < len)
        p = a[i] * b[j] + F(i + 1, j + 1, a, b, len, cache);

    if (i + 1 < len)
        q = a[i] * a[i + 1] + F(i + 2, j, a, b, len, cache);

    if (j + 1 < len)
        r = b[j] * b[j + 1] + F(i, j + 2, a, b, len, cache);

    return cache[i * (len + 1) + j] = max(p, q, r);
}

int main(int argc, char ** argv)
{
    int a[] = {2, 1, 3};
    int b[] = {3, 7, 9};
    int len = 3;

    int cache[(len + 1) * (len + 1)];
    for (int i = 0; i < (len + 1) * (len + 1); i++)
        cache[i] = INVALID;

    cache[(len + 1) * (len + 1)  - 1] = 0;

    std::cout << F(0, 0, a, b, len, cache) << std::endl;
}

如果您需要实际的合并序列而不仅仅是总和，您还必须缓存选择p, q, r中的哪一个并回溯。

Answer 5

通过动态编程解决它的一种方法是始终存储：

S [i] [j] [l] =“合并A [1，...，i]和B [1，...，j]的最佳方式，如果l == 0，最后一个元素是A [i]，如果l == 1，则最后一个元素是B [j]“。

然后，DP将是（伪代码，在A [0]和B [0]处插入任何数字，并且让实际输入在A [1] ... A [n]，B [1] ] ... B [n]）的：

S[0][0][0] = S[0][0][1] = S[1][0][0] = S[0][1][1] = 0; // If there is only 0 or 1 element at the merged vector, the answer is 0
S[1][0][1] = S[0][1][1] = -infinity; // These two cases are impossible
for i = 1...n:
    for j = 1...n:
        // Note that the cases involving A[0] or B[0] are correctly handled by "-infinity"
        // First consider the case when the last element is A[i]
        S[i][j][0] = max(S[i-1][j][0] + A[i-1]*A[i], // The second to last is A[i-1].
                         S[i-1][j][1] + B[j]*A[i]); // The second to last is B[j]
        // Similarly consider when the last element is B[j]
        S[i][j][1] = max(S[i][j-1][0] + A[i]*B[j], // The second to last is A[i]
                         S[i][j-1][1] + B[j-1]*B[j]); // The second to last is B[j-1]
 // The answer is the best way to merge all elements of A and B, leaving either A[n] or B[n] at the end.
return max(S[n][n][0], S[n][n][1]);

Answer 6

合并并对其进行排序。可能是合并排序。排序数组给出最大值。（合并只是附加数组）。复杂性是nlogn。

Answer 7

这是Clojure中的一个解决方案，如果你对一些偏僻的道路感兴趣的话。它是O（n ³ ），因为它只生成所有n ² 稳定合并并花费n次时间对产品求和。与我见过的基于阵列的命令式解决方案相比，补偿和算术的麻烦要少得多，这有望使算法更加突出。而且它也非常灵活：例如，如果您想要包括c2 * c3以及c1 * c2和c3 * c4，您只需将(partition 2 coll)替换为(partition 2 1 coll)。

;; return a list of all possible ways to stably merge the two input collections
(defn stable-merges [xs ys]
  (lazy-seq
   (cond (empty? xs) [ys]
         (empty? ys) [xs]
         :else (concat (let [[x & xs] xs]
                         (for [merge (stable-merges xs ys)]
                           (cons x merge)))
                       (let [[y & ys] ys]
                         (for [merge (stable-merges xs ys)]
                           (cons y merge)))))))

;; split up into chunks of two, multiply, and add the results
(defn sum-of-products [coll]
  (apply + (for [[a b] (partition 2 coll)]
             (* a b))))

;; try all the merges, find the one with the biggest sum
(defn best-merge [xs ys]
  (apply max-key sum-of-products (stable-merges xs ys)))

user> (best-merge [2 1 5] [3 7 9])
(2 1 3 5 7 9)

Answer 8

我认为如果你提供更多的测试用例会更好。但我认为两个数组的正常合并类似于合并排序中的合并将解决问题。

合并数组的伪代码在Wiki上给出。

  

基本上它是正常的merging algorithm used in Merge Sort。在   合并排序，数组是排序的，但在这里我们应用相同的合并   未排序数组的算法。

Step 0：让i成为first array(A)和j成为index for second array(B的索引。 i=0 , j=0

Step 1：Compare A[i]=2 & B[j]=3。自2<3起，它将成为新merged array(C)的第一个元素。 i=1, j=0（将该数字添加到较小的新数组中）

Step 2：再次Compare A[i]=1 and B[j]=3. 1<3 insert 1 in C. i++, j=0;

Step 3：再次Compare A[i]=3 and B[j]=3。 Any number can go in C(both are same). i++, j=0;（基本上我们正在增加插入数字的数组的索引）

Step 4：由于array A is complete只是直接insert the elements of Array B in C。否则重复上一步。

Array C = { 2, 1, 3, 3, 7,9}

我没有做过太多的研究。因此，如果有任何测试用例可能失败，请提供一个。