如何确定多边形点列表是否按顺时针顺序？

Question

有一个点列表，我如何找到顺时针顺序？

例如：

point[0] = (5,0)
point[1] = (6,4)
point[2] = (4,5)
point[3] = (1,5)
point[4] = (1,0)

会说它是逆时针（或逆时针，对某些人而言）。

Answer 1

在非凸多边形（例如新月形）的情况下，某些建议的方法将失败。这是一个非常简单的非凸多边形（它甚至可以使用自相交的多边形，如图8，告诉你它是否主要是顺时针方向）。

边上的和，（x ₂ - x ₁ ）（y ₂ + y ₁ ） 。如果结果为正，则曲线为顺时针，如果为负，则曲线为逆时针。 （结果是封闭区域的两倍，使用+/-约定。）

point[0] = (5,0)   edge[0]: (6-5)(4+0) =   4
point[1] = (6,4)   edge[1]: (4-6)(5+4) = -18
point[2] = (4,5)   edge[2]: (1-4)(5+5) = -30
point[3] = (1,5)   edge[3]: (1-1)(0+5) =   0
point[4] = (1,0)   edge[4]: (5-1)(0+0) =   0
                                         ---
                                         -44  counter-clockwise

Answer 2

cross product测量两个向量的垂直度。想象一下，多边形的每个边都是三维（3-D）xyz空间的x-y平面中的向量。然后，两个连续边的叉积是z方向上的矢量，（如果第二段是顺时针，则为正z方向，如果是逆时针，则为z方向）。该向量的大小与两个原始边缘之间的角度的正弦成正比，因此当它们垂直时达到最大值，并且当边缘共线（平行）时逐渐减小以消失。

因此，对于多边形的每个顶点（点），计算两个相邻边的叉积大小：

Using your data:
point[0] = (5, 0)
point[1] = (6, 4)
point[2] = (4, 5)
point[3] = (1, 5)
point[4] = (1, 0)

因此，将边缘连续标记为
 edgeA是从point0到point1和
的细分受众群  edgeB到point1之间point2  ...
 edgeE介于point4和point0之间。

然后顶点A（point0）介于
之间    edgeE [从point4到point0]
   edgeA [从point0到“point1”

这两条边是它们自己的向量，其x和y坐标可以通过减去它们的起点和终点的坐标来确定：

edgeE = point0 - point4 = (1, 0) - (5, 0) = (-4, 0)和
   edgeA = point1 - point0 = (6, 4) - (1, 0) = (5, 4)和

使用以下矩阵的行列式计算这两个相邻边的叉积，该矩阵是通过将两个向量的坐标放在表示三个坐标轴的符号（i，{{ 1}}，＆amp; j）。第三个（零）值坐标是因为交叉积概念是三维构造，因此我们将这些二维向量扩展为三维以应用交叉积：

k

鉴于所有交叉乘积产生的矢量垂直于两个矢量的平面相乘，上面矩阵的行列式只有 i j k -4 0 0 1 4 0 ，（或z轴）分量。
计算k或z轴分量的大小的公式为
  k = a1*b2 - a2*b1 = -4* 4 - 0* 1

此值的大小（-16）是两个原始矢量之间角度的正弦值的乘积，乘以2个矢量的幅度乘积。
实际上，其价值的另一个公式是
  -16。

所以，要回到角度的一个度量，你需要将这个值（A X B (Cross Product) = |A| * |B| * sin(AB)）除以两个向量的大小的乘积。

-16 = |A| * |B| = 4 * Sqrt(17)

因此sin（AB）的度量= 16.4924... = -16 / 16.4924

这是衡量顶点向左或向右弯曲后的下一个段的度量，以及是多少。没有必要采用正弦波。我们所关心的只是它的大小，当然还有它的标志（正面或负面）！

对闭合路径周围的其他4个点中的每个点执行此操作，并在每个顶点处将此计算中的值相加..

如果最终总和是正数，则顺时针方向，负方向，逆时针方向。

Answer 3

我想这是一个非常古老的问题，但无论如何我都会抛出另一个解决方案，因为它很简单，而且不是数学密集的 - 它只是使用基本代数。计算多边形的有符号区域。如果它是负数，则点是顺时针顺序，如果它是正数，则它们是逆时针。 （这与Beta的解决方案非常相似。）

计算签名区域： A = 1/2 *（x ₁ * y ₂ - x ₂ * y ₁ + x ₂ * y ₃ - x ₃ * y ₂ + ... + x _n * y ₁ - x ₁ * y _n ）

或伪代码：

signedArea = 0
for each point in points:
    x1 = point[0]
    y1 = point[1]
    if point is last point
        x2 = firstPoint[0]
        y2 = firstPoint[1]
    else
        x2 = nextPoint[0]
        y2 = nextPoint[1]
    end if

    signedArea += (x1 * y2 - x2 * y1)
end for
return signedArea / 2

请注意，如果您只是检查订购，则无需费力除以2.

资料来源：http://mathworld.wolfram.com/PolygonArea.html

Answer 4

找到y最小的顶点（如果有连接则找到最大的x）。设顶点为A，列表中的前一个顶点为B，列表中的下一个顶点为C。现在计算AB和AC的叉积的符号。

---

参考文献：

• 如何找到简单多边形的方向？ in Frequently Asked Questions: comp.graphics.algorithms

维基百科

• Curve orientation。

Answer 5

以下是基于this answer的算法的简单C＃实现。

假设我们的Vector类型具有类型为X的{​​{1}}和Y属性。

double

public bool IsClockwise(IList<Vector> vertices) { double sum = 0.0; for (int i = 0; i < vertices.Count; i++) { Vector v1 = vertices[i]; Vector v2 = vertices[(i + 1) % vertices.Count]; sum += (v2.X - v1.X) * (v2.Y + v1.Y); } return sum > 0.0; } 是执行模运算的模运算或余数运算符，（according to Wikipedia）在一个数除以另一个数后找到余数。

Answer 6

从其中一个顶点开始，计算每一侧所对的角度。

第一个和最后一个将为零（所以跳过那些）;对于其余部分，角度的正弦值将由（点[n] - 点[0]）和（点[n-1] - 点[0]）的单位长度的归一化的叉积给出。< / p>

如果值的总和为正，则以逆时针方向绘制多边形。

Answer 7

JavaScript中Sean's answer的实现：

＆＃13;

＆＃13;

function calcArea(poly) {
    if(!poly || poly.length < 3) return null;
    let end = poly.length - 1;
    let sum = poly[end][0]*poly[0][1] - poly[0][0]*poly[end][1];
    for(let i=0; i<end; ++i) {
        const n=i+1;
        sum += poly[i][0]*poly[n][1] - poly[n][0]*poly[i][1];
    }
    return sum;
}

function isClockwise(poly) {
    return calcArea(poly) > 0;
}

let poly = [[352,168],[305,208],[312,256],[366,287],[434,248],[416,186]];

console.log(isClockwise(poly));

let poly2 = [[618,186],[650,170],[701,179],[716,207],[708,247],[666,259],[637,246],[615,219]];

console.log(isClockwise(poly2));

＆＃13;

＆＃13;

＆＃13;

很确定这是对的。它似乎工作： - ）

如果你想知道那些多边形是这样的：

Answer 8

对于它的价值，我使用这个mixin来计算Google Maps API v3应用程序的上弦顺序。

该代码利用了多边形区域的副作用：顶点的顺时针缠绕顺序产生正区域，而相同顶点的逆时针缠绕顺序产生与负值相同的区域。该代码还在Google Maps几何库中使用了一种私有API。我觉得使用它很舒服 - 使用风险自负。

样本用法：

var myPolygon = new google.maps.Polygon({/*options*/});
var isCW = myPolygon.isPathClockwise();

单元测试@ http://jsfiddle.net/stevejansen/bq2ec/

的完整示例

/** Mixin to extend the behavior of the Google Maps JS API Polygon type
 *  to determine if a polygon path has clockwise of counter-clockwise winding order.
 *  
 *  Tested against v3.14 of the GMaps API.
 *
 *  @author  stevejansen_github@icloud.com
 *
 *  @license http://opensource.org/licenses/MIT
 *
 *  @version 1.0
 *
 *  @mixin
 *  
 *  @param {(number|Array|google.maps.MVCArray)} [path] - an optional polygon path; defaults to the first path of the polygon
 *  @returns {boolean} true if the path is clockwise; false if the path is counter-clockwise
 */
(function() {
  var category = 'google.maps.Polygon.isPathClockwise';
     // check that the GMaps API was already loaded
  if (null == google || null == google.maps || null == google.maps.Polygon) {
    console.error(category, 'Google Maps API not found');
    return;
  }
  if (typeof(google.maps.geometry.spherical.computeArea) !== 'function') {
    console.error(category, 'Google Maps geometry library not found');
    return;
  }

  if (typeof(google.maps.geometry.spherical.computeSignedArea) !== 'function') {
    console.error(category, 'Google Maps geometry library private function computeSignedArea() is missing; this may break this mixin');
  }

  function isPathClockwise(path) {
    var self = this,
        isCounterClockwise;

    if (null === path)
      throw new Error('Path is optional, but cannot be null');

    // default to the first path
    if (arguments.length === 0)
        path = self.getPath();

    // support for passing an index number to a path
    if (typeof(path) === 'number')
        path = self.getPaths().getAt(path);

    if (!path instanceof Array && !path instanceof google.maps.MVCArray)
      throw new Error('Path must be an Array or MVCArray');

    // negative polygon areas have counter-clockwise paths
    isCounterClockwise = (google.maps.geometry.spherical.computeSignedArea(path) < 0);

    return (!isCounterClockwise);
  }

  if (typeof(google.maps.Polygon.prototype.isPathClockwise) !== 'function') {
    google.maps.Polygon.prototype.isPathClockwise = isPathClockwise;
  }
})();

Answer 9

如果使用Matlab，如果多边形顶点按顺时针顺序，函数ispolycw将返回true。

Answer 10

这是OpenLayers 2的已实现功能。具有顺时针多边形的条件为area < 0，由this reference确认。

function IsClockwise(feature)
{
    if(feature.geometry == null)
        return -1;

    var vertices = feature.geometry.getVertices();
    var area = 0;

    for (var i = 0; i < (vertices.length); i++) {
        j = (i + 1) % vertices.length;

        area += vertices[i].x * vertices[j].y;
        area -= vertices[j].x * vertices[i].y;
        // console.log(area);
    }

    return (area < 0);
}

Answer 11

这是一个基于this answer（又基于the solution proposed in the accepted answer）的简单Python 3实现

def is_clockwise(points):
    # points is your list (or array) of 2d points.
    assert len(points) > 0
    s = 0.0
    for p1, p2 in zip(points, points[1:] + [points[0]]):
        s += (p2[0] - p1[0]) * (p2[1] + p1[1])
    return s > 0.0

Answer 12

正如本维基百科文章Curve orientation中所解释的那样，在平面上给出3分p，q和r（即使用x和y坐标），你可以计算以下决定因素的符号

如果行列式为负（即Orient(p, q, r) < 0），则多边形顺时针（CW）定向。如果行列式是正的（即Orient(p, q, r) > 0），则多边形逆时针（CCW）定向。如果点Orient(p, q, r) == 0，p和q为collinear，则行列式为零（即r）。

在上面的公式中，我们将p，q和r坐标前面的那些前置，因为我们使用的是homogeneous coordinates。

Answer 13

我认为为了顺时针给出一些点，所有边缘都需要是正的而不仅仅是边的总和。如果一个边是负的，则逆时针给出至少3个点。

Answer 14

我的C＃/ LINQ解决方案基于@charlesbretana的交叉产品建议如下。您可以指定绕组的参考法线。只要曲线主要位于由向上矢量定义的平面中，它就应该工作。

using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Numerics;

namespace SolidworksAddinFramework.Geometry
{
    public static class PlanePolygon
    {
        /// <summary>
        /// Assumes that polygon is closed, ie first and last points are the same
        /// </summary>
       public static bool Orientation
           (this IEnumerable<Vector3> polygon, Vector3 up)
        {
            var sum = polygon
                .Buffer(2, 1) // from Interactive Extensions Nuget Pkg
                .Where(b => b.Count == 2)
                .Aggregate
                  ( Vector3.Zero
                  , (p, b) => p + Vector3.Cross(b[0], b[1])
                                  /b[0].Length()/b[1].Length());

            return Vector3.Dot(up, sum) > 0;

        } 

    }
}

进行单元测试

namespace SolidworksAddinFramework.Spec.Geometry
{
    public class PlanePolygonSpec
    {
        [Fact]
        public void OrientationShouldWork()
        {

            var points = Sequences.LinSpace(0, Math.PI*2, 100)
                .Select(t => new Vector3((float) Math.Cos(t), (float) Math.Sin(t), 0))
                .ToList();

            points.Orientation(Vector3.UnitZ).Should().BeTrue();
            points.Reverse();
            points.Orientation(Vector3.UnitZ).Should().BeFalse();



        } 
    }
}

Answer 15

在测试了几个不可靠的实现之后，开箱即用的CW / CCW方向提供了令人满意的结果的算法是OP在this线程（shoelace_formula_3）中发布的算法。

与往常一样，正数表示CW方向，而负数表示CCW。

Answer 16

这是我的解决方案，使用其他答案中的解释：

def segments(poly):
    """A sequence of (x,y) numeric coordinates pairs """
    return zip(poly, poly[1:] + [poly[0]])

def check_clockwise(poly):
    clockwise = False
    if (sum(x0*y1 - x1*y0 for ((x0, y0), (x1, y1)) in segments(poly))) < 0:
        clockwise = not clockwise
    return clockwise

poly = [(2,2),(6,2),(6,6),(2,6)]
check_clockwise(poly)
False

poly = [(2, 6), (6, 6), (6, 2), (2, 2)]
check_clockwise(poly)
True

Answer 17

一个计算上更简单的方法，如果你已经知道多边形内的一个点：

1. 按原样选择原始多边形，点及其坐标中的任何线段。

2. 添加一个已知的“内部”点，并形成一个三角形。

3. 按照建议here用这三点计算CW或CCW。

Answer 18

以下是基于以上答案的快速3.0解决方案：

Sub Merger()
Dim wb As Workbook, sh As Worksheet, fPath As String, fName As String
Set sh = ThisWorkbook.Sheets(1)
fPath = ThisWorkbook.Path 'If files are in a different directory than master, replace path here
    If Right(fPath, 1) <> "\" Then fPath = fPath & "\" 'Make sure separator is on end of path
fName = Dir(fPath & "*.xl*") 'get all Excel files in directory
    Do
        If fName <> ThisWorkbook.Name Then
            Set wb = Workbooks.Open(fPath & fName)
            With wb.Sheets(1)
                If Application.CountA(.Rows(2)) > 0 Then
                    .UsedRange.Offset().Copy sh.Cells(Rows.Count, 1).End(xlUp)(2)
                End If
            End With
            wb.Close False
        End If
        fName = Dir
    Loop While fName <> ""
    ActiveCell.Offset(-34, -7).Range("A1:T1").Select
    ActiveCell.FormulaR1C1 = _
        "hb_golden_1154317527.txt)"
    ActiveCell.Offset(29, 0).Range("A1").Select
End Sub

Answer 19

另一个解决方案;

const isClockwise = (vertices=[]) => {
    const len = vertices.length;
    const sum = vertices.map(({x, y}, index) => {
        let nextIndex = index + 1;
        if (nextIndex === len) nextIndex = 0;

        return {
            x1: x,
            x2: vertices[nextIndex].x,
            y1: x,
            y2: vertices[nextIndex].x
        }
    }).map(({ x1, x2, y1, y2}) => ((x2 - x1) * (y1 + y2))).reduce((a, b) => a + b);

    if (sum > -1) return true;
    if (sum < 0) return false;
}

将所有顶点作为这样的数组;

const vertices = [{x: 5, y: 0}, {x: 6, y: 4}, {x: 4, y: 5}, {x: 1, y: 5}, {x: 1, y: 0}];
isClockwise(vertices);

Answer 20

R确定方向并逆时针旋转的解决方案（发现对物体是必要的）：

coords <- cbind(x = c(5,6,4,1,1),y = c(0,4,5,5,0))
a <- numeric()
for (i in 1:dim(coords)[1]){
  #print(i)
  q <- i + 1
  if (i == (dim(coords)[1])) q <- 1
  out <- ((coords[q,1]) - (coords[i,1])) * ((coords[q,2]) + (coords[i,2]))
  a[q] <- out
  rm(q,out)
} #end i loop

rm(i)

a <- sum(a) #-ve is anti-clockwise

b <- cbind(x = rev(coords[,1]), y = rev(coords[,2]))

if (a>0) coords <- b #reverses coords if polygon not traced in anti-clockwise direction

Answer 21

尽管这些答案是正确的，但它们在数学上比必要的更为激烈。假设地图坐标，其中最北点是地图上的最高点。找到最北的点，如果有2个点平局，那就是最北，然后是最东（这是lhf在他的答案中使用的点）。根据您的观点，

point [0] =（5,0）

point [1] =（6,4）

point [2] =（4,5）

point [3] =（1,5）

point [4] =（1,0）

如果我们假设P2是最北的，则上一个点或下一个点的东点确定为顺时针，顺时针或逆时针。由于最北点在北面上，因此如果P1（先前的P2）向东移动，则方向为CW。在这种情况下，它向西移动，因此，如接受的答案所示，方向为CCW。如果前一点没有水平运动，则同一系统适用于下一点P3。如果P3在P2的西边，则为CCW。如果P2到P3的运动是东方的，那么在这种情况下，它的运动就是西方的。假设数据中的nte，P2是最北点，然后是东点，prv是前一个点，数据中是P1，nxt是下一个点，数据中的P3，[0]是水平或东部/西，西小于东，[1]是垂直的。

if (nte[0] >= prv[0] && nxt[0] >= nte[0]) return(CW);
if (nte[0] <= prv[0] && nxt[0] <= nte[0]) return(CCW);
// Okay, it's not easy-peasy, so now, do the math
if (nte[0] * nxt[1] - nte[1] * nxt[0] - prv[0] * (nxt[1] - crt[1]) + prv[1] * (nxt[0] - nte[0]) >= 0) return(CCW); // For quadrant 3 return(CW)
return(CW) // For quadrant 3 return (CCW)

Answer 22

用于实现lhf's answer的C＃代码：

// https://en.wikipedia.org/wiki/Curve_orientation#Orientation_of_a_simple_polygon
public static WindingOrder DetermineWindingOrder(IList<Vector2> vertices)
{
    int nVerts = vertices.Count;
    // If vertices duplicates first as last to represent closed polygon,
    // skip last.
    Vector2 lastV = vertices[nVerts - 1];
    if (lastV.Equals(vertices[0]))
        nVerts -= 1;
    int iMinVertex = FindCornerVertex(vertices);
    // Orientation matrix:
    //     [ 1  xa  ya ]
    // O = | 1  xb  yb |
    //     [ 1  xc  yc ]
    Vector2 a = vertices[WrapAt(iMinVertex - 1, nVerts)];
    Vector2 b = vertices[iMinVertex];
    Vector2 c = vertices[WrapAt(iMinVertex + 1, nVerts)];
    // determinant(O) = (xb*yc + xa*yb + ya*xc) - (ya*xb + yb*xc + xa*yc)
    double detOrient = (b.X * c.Y + a.X * b.Y + a.Y * c.X) - (a.Y * b.X + b.Y * c.X + a.X * c.Y);

    // TBD: check for "==0", in which case is not defined?
    // Can that happen?  Do we need to check other vertices / eliminate duplicate vertices?
    WindingOrder result = detOrient > 0
            ? WindingOrder.Clockwise
            : WindingOrder.CounterClockwise;
    return result;
}

public enum WindingOrder
{
    Clockwise,
    CounterClockwise
}

// Find vertex along one edge of bounding box.
// In this case, we find smallest y; in case of tie also smallest x.
private static int FindCornerVertex(IList<Vector2> vertices)
{
    int iMinVertex = -1;
    float minY = float.MaxValue;
    float minXAtMinY = float.MaxValue;
    for (int i = 0; i < vertices.Count; i++)
    {
        Vector2 vert = vertices[i];
        float y = vert.Y;
        if (y > minY)
            continue;
        if (y == minY)
            if (vert.X >= minXAtMinY)
                continue;

        // Minimum so far.
        iMinVertex = i;
        minY = y;
        minXAtMinY = vert.X;
    }

    return iMinVertex;
}

// Return value in (0..n-1).
// Works for i in (-n..+infinity).
// If need to allow more negative values, need more complex formula.
private static int WrapAt(int i, int n)
{
    // "+n": Moves (-n..) up to (0..).
    return (i + n) % n;
}

Answer 23

找到这些点的质心。

假设从这一点到你的观点都有一条线。

找到line0 line1

的两行之间的角度

而不是line1和line2

...

...

如果这个角度单调增加而不是逆时针，

否则如果单调递减则顺时针

其他（这不是单调的）

你无法决定，所以这不明智