Question

我遇到了一个给出NxM 0-1矩阵和数K（＆lt; = NxM）的atoridinary问题，我必须找到该0-1矩阵的最小子矩形区域，其内部至少有K 1个子矩形。此外，它的面积（两个尺寸的乘积）应该最小化。

例如：
00000
01010
00100
01010
00000
K = 3

所以我可以找到一个最小区域6的子矩形，里面包含3个1 10个
01
10

请注意，我所指的目标子矩形应包含原始0-1矩阵的连续行数和列数。

Answer 1

Compute cumulative sum of rows R[i,j] and columns C[i,j].
For top-left corner (i,j) of each possible sub-rectangle:
   Starting from a single-row sub-rectangle (n=i),
   Search the last possible column for this sub-rectangle (m).
   While m>=j:
     While there are more than 'k' "ones" in this sub-rectangle:
       If this is the smallest sub-rectangle so far, remember it.
       Remove column (--m).
       This decreases the number of "ones" by C[m+1,n]-C[m+1,j-1].
     Add next row (++n).
     This increases the number of "ones" by R[m,n]-R[i-1,n].

时间复杂度为O（NM（N + M））。

可以通过将线性搜索更改为二进制搜索（以更快地处理瘦子矩形）来优化两个嵌套循环。

也可以（在向子矩形添加行/列之后）减少O（1）时间列/行的数量，使得该子矩形的面积不大比最好的子矩形区域。

这两种优化都需要计算O（1）中的任何子矩形权重。为了使其成为可能，预先计算子矩形[1..i，1..j]（X [i，j]）的所有元素的累积和。然后任何子矩形[i..m，j..n]的权重计算为X[m,n]-X[i-1,n]-X[m,j-1]+X[i-1,j-1]。

Compute cumulative sum of columns C[i,j].
For any starting row (k) of possible sub-rectangle:
  For any ending row (l) of possible sub-rectangle:
    Starting column (m = 1).
    Ending column (n = 1).
    While n is not out-of-bounds
      While there are less than 'k' "ones" in sub-rectangle [k..l,m..n]:
        Add column (++n).
        This increases the number of "ones" by C[l,n]-C[k-1,n].
      If this is the smallest sub-rectangle so far, remember it.
      Remove column (++m).
      This decreases the number of "ones" by C[l,m-1]-C[k-1,m-1].

时间复杂度为O（N ² M）。

当在其中处理的所有子矩形都是单列子矩形（太多行）或者在其内部处理的子矩形中没有包含足够的“1”时，可以终止循环'l'。没有足够的行。）

Answer 2

问题是NP-hard，因为clique decision problem可以减少到它。所以没有比尝试所有可能的子矩阵的强力方法更有效的算法（除非P = NP）。

集团决策问题可以通过以下方式解决您的问题：

让矩阵成为图的邻接矩阵。
设置K = L ^ 2，其中L是我们要寻找的集团的大小。
在此输入上解决您的问题。该图包含一个L-clique iff，您的问题的解决方案是仅包含一个的LxL子矩阵（可以在多项式时间内检查）。

Answer 3

离开我的头顶，你可以列出矩阵中所有坐标对的坐标对（？），找到其中每个K-组合的（最小的）包含子矩形*，然后选择其中最小的。

*由K组合中最小和最大的行和列索引定义。

如何在0-1矩阵中找到至少K 1的最小子矩形

3 个答案: