Question

我试图在SPOJ上解决这个问题（http://www.spoj.pl/problems/REC/）

F(n) = a*F(n-1) + b我们必须找到F(n) Mod (m)

0 <= a, b, n <=  10^100
       1 <= M <= 100000
F(0)=1

我正在尝试用JAVA中的BigInteger来解决它，但是如果我从0到n运行一个循环来获取TLE。我怎么能解决这个问题？任何人都可以给出一些暗示吗？不要发布解决方案。我想要提示如何有效地解决它。

Answer 1

注意，残基mod（m）的模式应该具有线性递归的重复模式，并且通过鸽子原理具有长度<= m。您只需要计算前m个条目，然后找出哪些条目将应用于F（n）以获得n的实际值。

它还有助于解决更简单的问题。让我们选择非常小的值，比如a = 2，b = 1，m = 5，n = 1000。

F（0）= 1
F（1）= 2 * F（0）+ 1 = 2 * 1 + 1 = 3 - > 3 Mod 5 = 3
F（2）= 2 * F（1）+ 1 = 2 * 3 + 1 = 7 - > 7 Mod 5 = 2
F（3）= 2 * F（2）+ 1 = 2 * 7 + 1 = 15 - > 15 Mod 5 = 0
F（4）= 2 * F（3）+ 1 = 2 * 15 + 1 = 31 - > 31 Mod 5 = 1
F（5）= 2 * F（4）+ 1 = 2 * 31 + 1 = 63-> 63 Mod 5 = 3
等

注意残留物是[1,3,2,0,1,3 ......]，它们将永远重复。那么从这个例子中，你如何确定F（1000）Mod 5而没有一直循环到第1000个条目？

Answer 2

首先，我会告诉你如何解决一个更简单的问题。假设b为零。然后你只需要计算一个ⁿ mod M.而不是乘以n-1次，使用分而治之的技术：

// Requires n >= 0 and M > 0.
int modularPower(int a, int n, int M) {
    if (n == 0)
        return 1;
    int result = modularPower(a, n / 2, M);
    result = (result * result) % M;
    if (n % 2 != 0)
        result = (result * a) % M;
    return result;
}

所以你可以用^{floor（n / 2）}来计算ⁿ，然后将其平方，如果n是奇数，则再乘以a。

要解决您的问题，首先定义函数f（x）=（a x + b）（mod M）。你需要计算f ⁿ（1），这是对初始值1应用f n次。所以你可以像上一个问题一样使用分而治之。幸运的是，两个线性函数的组合也是线性的。您可以通过三个整数（两个常数和模数）表示线性函数。编写一个带有线性函数和指数的函数，并返回多次组合的函数。

非常大的线性递归n

2 个答案: