Question

我有一个编程任务（不是家庭作业。），我必须在图中找到桥梁。我自己做了一些工作，但无法想出任何令人满意的东西。所以我用Google搜索，我找到了一些东西，但我无法理解它所呈现的算法。有人可以看看这段代码并给我一个解释。？

public Bridge(Graph G) {
    low = new int[G.V()];
    pre = new int[G.V()];
    for (int v = 0; v < G.V(); v++) low[v] = -1;
    for (int v = 0; v < G.V(); v++) pre[v] = -1;

    for (int v = 0; v < G.V(); v++)
        if (pre[v] == -1)
            dfs(G, v, v);
}

public int components() { return bridges + 1; }

private void dfs(Graph G, int u, int v) {
    pre[v] = cnt++;
    low[v] = pre[v];
    for (int w : G.adj(v)) {
        if (pre[w] == -1) {
            dfs(G, v, w);
            low[v] = Math.min(low[v], low[w]);
            if (low[w] == pre[w]) {
                StdOut.println(v + "-" + w + " is a bridge");
                bridges++;
            }
        }

        // update low number - ignore reverse of edge leading to v
        else if (w != u)
            low[v] = Math.min(low[v], pre[w]);
    }
}

Answer 1

Def：Bridge是边缘，当删除时，将断开图形（或将连接组件的数量增加1）。

关于图中桥梁的一个观察;属于循环的边不能是桥。因此，在A--B--C--A等图表中，删除任何边A--B，B--C和C--A都不会断开图表。但是，对于无向图，边A--B暗示B--A;并且这个边缘仍然可以是一个桥梁，它所在的唯一循环是A--B--A。因此，我们应该只考虑由后边缘形成的那些循环。这是您在函数参数中传递的父信息有用的地方。它将帮助您不使用A--B--A之类的循环。

现在要识别后边缘（或循环），A--B--C--A我们使用low和pre数组。数组pre类似于dfs算法中的visited数组;但是我们不是仅将顶点标记为已访问，而是使用不同的数字（根据其在dfs树中的位置）标识每个顶点。 low数组有助于识别是否存在循环。 low数组标识当前顶点可以到达的最低编号（来自pre数组）顶点。

让我们完成此图A--B--C--D--B。

从A

开始

dfs:   ^                 ^                 ^                 ^              ^
pre:   0 -1 -1 -1 -1  0--1 -1 -1  1  0--1--2 -1  1  0--1--2--3  1  0--1--2--3--1
graph: A--B--C--D--B  A--B--C--D--B  A--B--C--D--B  A--B--C--D--B  A--B--C--D--B
low:   0 -1 -1 -1 -1  0--1 -1 -1  1  0--1--2 -1  1  0--1--2--3  1  0--1--2--3->1

此时，您在图表中遇到了循环/循环。在您的代码if (pre[w] == -1)这次将是假的。所以，你将进入else部分。 if语句检查B是D的父顶点。事实并非如此，因此D会将B的{{1}}值吸收到pre中。继续这个例子，

low

dfs: ^ pre: 0--1--2--3 graph: A--B--C--D low: 0--1--2--1的{{1}}值通过代码low传播回D。

现在，识别出循环/循环，我们注意到顶点low[v] = Math.min(low[v], low[w]);不是循环的一部分。因此，您打印出dfs: ^ ^ ^ pre: 0--1--2--3--1 0--1--2--3--1 0--1--2--3--1 graph: A--B--C--D--B A--B--C--D--B A--B--C--D--B low: 0--1--1--1--1 0--1--1--1--1 0--1--1--1--1作为桥梁。代码A表示A--B的边缘将成为桥梁。这是因为，我们可以从low['B'] == pre['B']到达的最低顶点是B本身。

希望这个解释有所帮助。

Answer 2

不是新答案，但我需要在Python中使用它。以下是无向NetworkX图形对象G的算法转换：

def bridge_dfs(G,u,v,cnt,low,pre,bridges):
    cnt    += 1
    pre[v]  = cnt
    low[v]  = pre[v]

    for w in nx.neighbors(G,v):
        if (pre[w] == -1):
            bridge_dfs(G,v,w,cnt,low,pre,bridges)

            low[v] = min(low[v], low[w])
            if (low[w] == pre[w]):
                bridges.append((v,w))

        elif (w != u):
            low[v] = min(low[v], pre[w])

def get_bridges(G):
    bridges = []
    cnt     = 0
    low     = {n:-1 for n in G.nodes()}
    pre     = low.copy()

    for n in G.nodes():
         bridge_dfs(G, n, n, cnt, low, pre, bridges)

    return bridges # <- List of (node-node) tuples for all bridges in G

小心Python的大型图的递归深度限制器......

Answer 3

不是一个新的答案，但我需要这个JVM / Kotlin。这是一个依赖com.google.common.graph.Graph的翻译。

/**
 * [T] The type of key held in the [graph].
 */
private class BridgeComputer<T>(private val graph: ImmutableGraph<T>) {
    /**
     * Counter.
     */
    private var count = 0
    /**
     * `low[v]` = Lowest preorder of any vertex connected to `v`.
     */
    private val low: MutableMap<T, Int> =
        graph.nodes().map { it to -1 }.toMap(mutableMapOf())
    /**
     * `pre[v]` = Order in which [depthFirstSearch] examines `v`.
     */
    private val pre: MutableMap<T, Int> =
        graph.nodes().map { it to -1 }.toMap(mutableMapOf())

    private val foundBridges = mutableSetOf<Pair<T, T>>()

    init {
        graph.nodes().forEach { v ->
            // DO NOT PRE-FILTER!
            if (pre[v] == -1) {
                depthFirstSearch(v, v)
            }
        }
    }

    private fun depthFirstSearch(u: T, v: T) {
        pre[v] = count++
        low[v] = checkNotNull(pre[v]) { "pre[v]" }
        graph.adjacentNodes(v).forEach { w ->
            if (pre[w] == -1) {
                depthFirstSearch(v, w)
                low[v] =
                    Math.min(checkNotNull(low[v]) { "low[v]" }, checkNotNull(low[w]) { "low[w]" })
                if (low[w] == pre[w]) {
                    println("$v - $w is a bridge")
                    foundBridges += (v to w)
                }
            } else if (w != u) {
                low[v] =
                    Math.min(checkNotNull(low[v]) { "low[v]" }, checkNotNull(pre[w]) { "pre[w]" })
            }
        }
    }

    /**
     * Holds the computed bridges.
     */
    fun bridges() = ImmutableSet.copyOf(foundBridges)!!
}

希望这会让某人的生活更轻松。

Answer 4

假设你有一条边 (c,d)，你必须确定它是否是一座桥
有多种方法可以解决这个问题，但让我们集中讨论一个。

从 c 开始，你必须做一个 BFS。
如果有边缘 c-d 则不要访问它。
通过访问布尔值来跟踪顶点。

最后，如果你发现 d 被访问了，这意味着，通过删除 c-d 我们仍然可以从源 c 访问 d，因此 c-d 不是桥梁。这是上述内容的简短实现：

int isBridge(int V, ArrayList<ArrayList<Integer>> adj,int c,int d)
{
    Queue<Integer> q = new LinkedList<>();
    boolean visited[] = new boolean[V];
    ArrayList<Integer> ls = new ArrayList<>();
    
    q.add(c);
    
    while(!q.isEmpty()) {
        
        Integer v = q.remove();
        
        if(visited[v])
            continue;

        visited[v] = true;
        ls.add(v);
        
        for(Integer e: adj.get(v)) {
            
            if(visited[e] || (c == v && d == e))
                continue;
            q.add(e);
        }
    }
    
    if(visited[d] == true)
        return 0;
    return 1;
    
}

连接图中的桥梁

4 个答案: