如何在R中执行* Fast * DCT（离散余弦变换）？

Question

使用Rprof显示dtt包中的dct是一段运行速度非常慢的R代码中的主要攻击者。在stats包中交换它为fft（这不是相同的转换，但应该花费相同的时间来计算）我的运行时间显着改善。事实上，我的Rprof线路中有2/3是先前的dct呼叫，而且在进行切换后仅有3行约600个fft呼叫。

dtt包中的dct实现是不是使用 fast 离散傅立叶变换完成的？如果是这样，是否有一个包有一个？ （我知道可以将数据加倍，然后从那些fft系数中提取dct的系数，但是直接的快速dct肯定会更好，并且确实应该在某个地方）。

Answer 1

似乎没有快速dct，但是在stats包中有一个fft（快速傅里叶变换），所以这里是你如何使用fft获得快速dct。

使用此风险需要您自担风险。我没有认真检查它。我在几个不同大小的向量上检查了它，它给出了与包dtt中的函数dct相同的结果。如果有人想通过将它与dct的输出进行比较来仔细检查我，那么随意做所以发布你的结果。

取向量并将其扩展到向量的两倍，如下所示：如果向量是v =（1,2,3），则将条目加倍到w =（1,2,3,3,2,1） ）。 注意顺序。如果你的向量是v =（1,2,4,9），那么将条目加倍到w =（1,2,4,9,9,4,2,1）

设N为ORIGINAL向量的长度（在你的长度加倍之前）。

然后是前N个系数 .5 * fft（w）/ exp（复数（虚数= pi / 2 / N）*（seq（2 * N）-1）） 应该同意计算 DCT（五） 除了它几乎在所有情况下都要快得多。

速度考虑因素。如果你推理因子N那么计算快速dct所花费的时间就像为每个素数因子做一个缓慢的dct所花费的时间。因此，如果N是2 ^ K，就像在长度为2的向量上进行K个不同的慢dct变换，因此它的真的快。如果N是素数（最坏的情况）那么根本没有加速。最大的加速是在长度为2的幂的向量上。

注意：上面的R代码看起来非常不友好，所以让我说一下发生了什么。以正确的方式加倍长度后，你得到的fft的前N个系数是几乎正确的事情。然而，系数需要稍微调整一下。设P代表e ^（pi * i / 2 / N）。保留第一个系数。将第二个系数除以P，将第三个除以P ^ 2，将第四个除以P ^ 3等...然后将 all 系数除以2（包括第一个）同意规范化R用于dct。

这个应该给出与在dtt包中使用dct函数相同的功能，但几乎在所有情况下都要快得多。

Answer 2

免责声明：我从未使用dtt包，无法将结果与结果进行比较。我的答案是关于DCT / FFT的通用。

John的想法是正确的，但他在重复矢量时是两次性的，并且必须通过调整系数（e^(pi * i / 2 / N)因子）来补偿它。通过原始矢量的正确扩展，FFT可以直接产生正确的结果（*）。引用Wikipedia：

“ DCT-I与具有均匀对称性的2N-2实数的DFT完全等效（直到总体比例因子为2）。例如，N = 5实数的DCT-I数字abcde完全相当于8个实数abcdedcb（甚至是对称）的DFT，除以2。“

即，如果我们有一个向量v = [1, 2, 3, 4, 5]我们希望在其上执行DCT，我们应该构造一个新的向量w = [1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2]并对其执行FFT。请注意v的第一个和最后一个组件只在w中按原始顺序出现一次！

这是有效的，因为偶函数的傅立叶变换（函数在零附近对称）纯粹由实数（余弦）系数组成。如果我们通过包含整个反转的w来构造向量v，正如约翰所建议的那样，它将围绕-0.5对称。由于这种微小的移位，傅立叶变换也会产生虚数（正弦）系数。

（*）这里的方法产生DCT-I。约翰的方法似乎是针对DCT-II。

Answer 3

John和Igor的回答都是正确的，但我认为他们缺少一些示例代码。

library(dtt)

par(mfrow=c(3, 1), mar=c(2, 3, 1, 0.1), mgp=c(2, 0.8, 0))

set.seed(1)
N <- 60
v <- sin(seq(0, pi*2*4, l=N))/2 + 
     sin(seq(0, pi*2*7, l=N))/3 + 
     sin(seq(0, pi*2*15, l=N))/2 + 
     runif(N, -1, 1)/40 +
     runif(N, -1, 1)/40

plot(v, type="o")

DCT-I：

v.dct1 <- dct(v, variant=1)

w <- c(v, v[(N - 1):2])
w.dct1 <- 0.5 * Re(fft(w)[1:N])


plot(v.dct1, type="l", col="#00000088")
abline(h=0, col="#00000044")
lines(w.dct1, col=2, lty=3, lwd=2)
legend("topright", c("dtt::dct", "fft"), bty="n", col=1:2, lwd=1)
legend("topleft", "DCT-I", bty="n")

DCT-II：

v.dct2 <- dct(v, variant=2)

P <- exp(complex(imaginary=pi / 2 / N)*(seq(2*N)-1)) 

w <- c(v, v[N:1])
w.dct2 <- 0.5 * Re(fft(w)[1:N]/P)

plot(v.dct2, type="l", col="#00000088")
abline(h=0, col="#00000044")
lines(w.dct2, col=2, lty=3, lwd=2)
legend("topright", c("dtt::dct", "fft"), bty="n", col=1:2, lwd=1)
legend("topleft", "DCT-II", bty="n")