Question

我遇到问题的问题如下：
假设我有一个给定重量的存钱罐，并且我使用一组给定的硬币在里面存钱。最后，我知道了存钱罐的总重量以及我使用的硬币的重量和价值。

我想知道我可以保证在存钱罐中的最低金额，即最坏的情况。例如，如果：

总重量= 100
使用的硬币重量= {1,50}
币数值= {1,30}

然后我可以保证银行的最低价值是60。

问题是背包变体，但我无法找到正确的复发。

提前致谢！

Answer 1

我接近这个的方法是评估集合中的每个硬币以确定其“价值密度”（因为缺少更好的术语） - 值除以重量。在您的示例中，第一枚硬币的值密度为1，然后第二枚硬币的值密度为30/50 = 0.6。

然后从总重量为零开始，在不超过给定重量的情况下应用最低的“值密度”硬币。然后应用下一个最低的“值密度”硬币，依此类推，直到达到给定的重量。

这是一个贪婪的算法。

Answer 2

一般背包问题AFAIK只有指数解决方案。也就是说，假设您拥有每种类型硬币的特定数量。在最一般的情况下，你将不得不尝试所有可能的组合（当然不超过总体重量）。

递归算法如下所示：

const int N = /* type count*/;

const int g_Weight[N] = { ... };
const int g_Value[N] = { ... };

int CalcMinValueFrom(int weight, int i)
{
    int valBest = 0, valMy = 0;

    if (weight <= 0)
        return 0; // weight already reached

    if (i >= N)
        return -1; // out of coins

    while (true)
    {
        int valNext = CalcMinValueFrom(weight, i+1);
        if (valNext >= 0)
        {
            valNext += valMy;
            if (!valBest || (valBest > valNext))
                valBest = valNext;
        }

        valMy += g_Value[i];
        weight -= g_Weight[i];

        if (valBest && (valBest <= valMy))
            return valBest;
    }
}

// Returns the minimum value for the given weight    
int CalcMinValue(int weight)
{
    return CalcMinValueFrom(weight, 0);
}

然而，在特定情况下，存在更好的解决方案。如果重量远大于任何硬币的重量，那么您可以轻松地粗略估计结果。为每个硬币定义其“效率”作为其价值和重量之间的比率。为了最小化价值，你应该只选择效率最低的硬币。此解决方案精确到“边缘效应”，例如四舍五入等（意味着 - 您只能获取整数个硬币）。

Answer 3

显然你知道这个问题，但你想找到一种方法来计算解决方案^^。

对于精确的方法，您可以检查分支和绑定算法。这是一个相对简单的OR方法，可以找到背包问题的精确解决方案，你应该找到很多课程。

Vicky提出了一个很好的解决方案来计算分支定界算法的下限。

背包算法变量

3 个答案: