概括：

Question

给出一个正整数A.目标是使用以下规则构造以A结尾的最短可能整数序列：

序列的第一个元素是1
每个连续元素是前两个元素的总和（也允许向自身添加单个元素）
每个元素都大于前面的所有元素;也就是说，序列正在增加。

For example, for A = 42, a possible solutions is [1, 2, 3, 6, 12, 24, 30, 42]. Another possible solution is [1, 2, 4, 5, 8, 16, 21, 42].

在阅读问题陈述之后，我首先想到的是Dynamic Programming，因此我将上述内容表达为搜索问题并尝试为其编写递归解决方案。

搜索空间：

                1
                |
                2
               / \
              /   \            
             3     4
            /|\   /|\
           / | \ 5 6 8
          /  |  \
         4   5   6
       /| |\  
      5 6 7 8

现在我们可以看到4个发生在两个地方，但在这两种情况下，4个孩子都是不同的，因为在一个案例中，sequence_so_far是[1,2,4]，在另一个例子中它是[1,2] ，3,4]，因此我们不能说我们有重叠的子问题。有没有办法将动态编程应用于上述问题？或者我判断使用DP可以解决它是错误的吗？

Answer 1

这是附加链 ...

http://en.wikipedia.org/wiki/Addition_chain

没有可以计算a的已知算法对于给定数字的最小附加链，具有任何保证合理的时间或小内存使用。但是，有几种技术计算相对较短的链条存在。一个众所周知的计算相对较短的加法链的技术是二进制方法，类似于通过平方取幂。其他知名人士方法是因子方法和窗口方法。

生成短加法链的新方法

http://it29.it.k.u-tokyo.ac.jp/pdfs/E83-A-1-60.pdf

Answer 2

这个问题有一个纯粹的动态编程解决方案。但是作为所有DP解决方案，内存和时间的复杂性都是N平方。所以它可以是太空猪。但这里只是DP爱好者的DP解决方案的关键：

概括：

而不是找到N的最小加法链长度。 l（N），我们要找到包含i和j的加法链的最小长度，其中i≤j且j在链中是max。将此长度称为A（i，j）。显然，我们有

1（N）= A（1，N）= A（N，N）
A（1，N）= A（2，N），如果N≥2
A（1，N）= 1 + min（A（i，j），1≤i≤j
提前计算

要使用较小的A（i，j）（典型的DP步骤）计算任何A（m，n），我们应用一些启发式算法。

H1：沿途保持（3）的最小部分的S（i + j）。然后
```
 A(1, n) = A(2, n) = A(n, n) = S(n)+1
```
对于其他m，我们通过向链中引入最多一个新元素来减少n，并且使用这样一个新元素，我们只需要再做一步来得出A（m，n）。可能性

H2：如果n是偶数，我们尝试将n / 2引入链中 H3：尝试将n-m引入链中 H4：尝试将n-1引入链中 H5：尝试将n-2引入链中（当n> 2时）

所以A（m，n）取m的最小值和基于H2-H5的减少的n加1。

实施例，A（52,100）= 1 + min（A（50,52），A（48,52），A（52,99），A（52,98）分别应用H2-H5

Answer 3

由于规则＃2，

每个连续元素是任何前两个元素的总和

该算法确实依赖于重复的子问题，因此动态编程适合于解决它。

使用动态编程解决附加链问题

3 个答案:

概括：

提前计算