Question

我想优化其中一个算法，我会尝试以最好的方式解释它。

主题

我们在 t = 0 时处于2D欧几里德系统中。在这个系统中有两个对象： O1 和 O2 。

O1 和 O2 分别位于 PA 和 PC 点。

O1 在 PB 点的方向上以恒定且已知的速度移动。当物体到达PB时，物体将停止。

O2 可以在任何方向上以恒定且已知速度不同或不的O1移动。在0时，O2有没有方向，我们需要为它找到一个。

知识参数：

O1：位置，方向，速度
O2：位置，速度

这是系统的一个小图。

Diagram of the system

我们希望找到 PI 点和时间 ti ：Position of O1 at the time ti = Position of O2 at the time ti = PI。然后我们将对象O2移动到PI点以获得 O2方向。

当选择O2的方向（点PI）且移动的物体O1和O2时，对象将永远不会停止或等待。

在这种情况下，结果将是这样的（PI在此图片上标注为D）。 Best intersection

算法

你可以在jsfiddle找到用JS编写的工作算法，这也是理解这个问题的好方法。

此时我使用一个简单的算法，但是可以进行大量的操作，我会获得最佳的交叉时间，然后获得交叉位置。

为了得到这个时间，我会立刻检查O1的位置，并检查此时O2是否可能到达此位置。如果O2无法及时到达目标，我们会将时间增加150％，但如果O2当时可以越过O1-B线，我们将把时间缩短50％。

最终，经过多次近似，我们将找到两个物体相遇的最佳时间。

伪代码

function getOptimalIntersectionTime time
   if distance between O1 and O2 at the time `time` < 1
       return time
   else if O2 could not reach the object O1 at the time `time`
       return getOptimalIntersectionTime time * 1.5
   else
       return getOptimalIntersectionTime time * 0.5

为什么我要关注？

我的算法有效，但在某些情况下（例如jsFiddle中的“反向案例”），需要大量的微积分才能找到最佳点。

在这个jsFiddle中，我们使用的是位置（-1000到1000）和速度（1-200）的小值，但是这个算法在数字越大时就越慢。

我知道过早优化是一个坏主意，但我在项目的最后（包括数据库插入/选择和数据分析，包括这个算法多次调用），这个算法最多需要80在某些情况下，项目系统的百分比会重新获得资源，因此改进可以真正提高系统的稳定性和响应能力。

Answer 1

不失一般性，让O2位于（0,0）。

让s和v为O1的位置和速度向量，v2为O2的速度，t为拦截时间。然后我们有：

|s + v * t| = t * v2

根据距离的定义：

(sx + vx * t) ^ 2 + (sy + vy * t) ^ 2 = (t * v2) ^ 2

将此乘以及重新排序的术语给出：

  sx^ 2 + 2 * sx * vx * t + vx^2 * t^2
+ sy^ 2 + 2 * sy * vy * t + vy^2 * t^2
-                           v2^2 * t^2
= 0

即

  sx^2 + sy^2 + (2 * sx * vx + 2 * sy * vy) * t + (vx^2 + vy^2 - v2^2) * t^2 = 0
  \---   ---/   \------------   ----------/       \--------   ------/
      \ /                    \ /                           \ /
       c                      b                             a

如您所见，这是t中的二次方程。我们可以简单地应用quadratic formula来找到t的两个可能值（如果等式没有解，那是因为没有拦截是可能的）。您可能希望使用最早的未来拦截，即较小的t>＆gt; 0.

一旦你计算了t，就找到拦截点，并且截取方向应该很容易。

总而言之，这个问题可以在恒定时间内解决，不需要迭代。

Answer 2

你似乎过分思考问题，它应该只是简单的几何。

不考虑如何定义最近点的问题，让我们解决所需点位于PA和PB之间的情况。

我们必须假设整个周期的时间段，我们称之为T。

PI = (PB - PA) / 2;  // simplified
TI = T / 2;          // simplified

[分别分解x和y坐标的所有公式]。

确定点（PC）与线（PA - > PB）的最近交点有相对简单的公式，但是当该线不是无限长时，它的定义是如何复杂的。

然后你需要：

V1 = (PB - PA) / T;  // O1's velocity
V2 = (PI - PC) / T;  // O2's velocity

最后两行不依赖于先前的假设 - 如果你知道截取点，那么速度就是行进的距离除以所花费的时间。

因此，除非你对V2施加一些额外的约束，否则总是一个解决方案，并且它是在几个简单的数学运算中计算的。

Answer 3

更新：@Meriton后来的回答比我好。我建议尝试他的第一个。

如你所知，我们在三个未知数vx2，vy2和t中分别有三个联立方程 - 分别是02和x的y和y速度。遗憾的是，这些方程式并非都是线性的：

x1o + vx1*t == x2o + vx2*t
y1o + vy1*t == y2o + vy2*t
vx2*vx2 + vy2*vy2 == vy*vy

（这里，x1o，y1o，x2o和y2o是初始位置的坐标。）

如果有办法线性化问题，我看不到它。然而，您可以通过相同的Newton-Raphson technique GPS使用来迭代地快速解决，从而根据卫星信号计算您的位置。当然，要填写细节并实施这将需要一些工作！

更新：我认为 @Alnitak可能已经相当整齐地线性化了您的问题。也许他的方法和我的方法的组合因此会繁荣。（我仍然认为你会想要使用Newton-Raphson迭代来收敛@ Altinak的T。）

Answer 4

由于速度是固定的，这应该可以使用并行导航的思想来解决。这样想吧。在时间0，在O1和O2之间存在一条线（LOS或视线）。如果O2遵循最佳交叉路径，则在时间1，O1和O2之间的线将与时间0 LOS平行。由于您具有O2的速度，您可以计算它在时间0和时间1之间行进的距离，并且可以计算它与时间1 LOS相交的位置。想想在O2的原始位置周围划一圈，其半径等于它在该时间间隔内行进的距离。该圆与第二个LOS的交叉点将包含解决方案。如果没有相交，则没有解决方案。这本在线书的开头有一个图表和公式，显示了这个概念：

http://www.crcnetbase.com/doi/abs/10.1201/9781420062281.ch2

此问题具有真实世界的应用程序，您可能也会发现此解决方案。例如，潜艇可以使用它来绘制并保持与目标的拦截航线，方法是在目标靠近目标时保持目标的LOS方向不变。

编辑：

enter image description here

此图显示了我在说什么。这可以使用三角函数来解决，除了目标O1直接朝向或远离导弹O2移动的特殊情况（可以通过简单的方法解决）。

在上图中，我们可以花费一些任意的时间。在那个时间t1期间，O1将具有行进距离b，并且O2将具有行进距离f。在时间t0，O1和O2之间的线与在时间t1的O1和O2之间的线平行。由于我们给出了O1和O2的初始位置，我们知道距离d，因为我们得到了O1的方向，我们可以简单地计算角度A.

So given A, b, f, and d, using the law of Cosines,
a = sqrroot(c^2 + b^2 - (2cb * cos(A)))
and
B = arccos((a^2 + c^2 - b^2)/2ac)
Using the law of Sines
E = arcsin((a * sin(B))/f)  or the ambiguous value of 180 - that value
and with that
BC = 180 - E   (because C = 180 - B - E so C+B = 180 - E

对于BC，我们有解，并且可以类似地计算O1和O2的初始位置的三角形的任何其他方面和交点。自从我使用高中三年以来已经很多年了，所以我可能会错过这个简化，但这有希望解释我最初描述的解决方法。

找到两个移动物体的更好交点

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