球面到点的线性最小二乘拟合

Question

我正在寻找一种算法来找到点云和球体之间的最佳拟合。

也就是说，我想最小化

formula http://img855.imageshack.us/img855/6033/codecogseqn.gif

其中 C 是球体的中心， r 是它的半径，而每个 P 是我 n的一组中的一个点点。变量显然是 Cx ， Cy ， Cz 和 r 。 在我的情况下，我可以事先获得一个已知的 r ，只留下 C 的组件作为变量。

我真的不想使用任何类型的迭代最小化（例如牛顿方法，Levenberg-Marquardt等） - 我更喜欢一组线性方程或明确使用SVD的解决方案。

Answer 1

没有即将出现的矩阵方程式。你选择的E表现得很糟糕;它的偏导数甚至不连续，更不用说是线性的。即使有不同的目标，这个优化问题似乎从根本上是非凸的;在一个点P和一个非零半径r的情况下，最优解的集合是关于P的球体。

你应该重新考虑具有更多优化知识的交易所。

Answer 2

可以找到制作矩阵方程的简短描述here。

我看到WildMagic Library使用iterative method（至少在版本4中）

Answer 3

The linked thesis contains a problem : it doesn't handle noise properly and overestimates the radius. (Centre is OK). It looks like it should be possible to come up with a correction based upon the estimate of the applied noise.

Answer 4

您可能对最适合的d维球体感兴趣，即，使到中心的平方距离的总体方差最小；它有一个简单的分析解决方案（矩阵演算）：请参阅Cerisier等人的开放获取论文的附录。在J.Comput。生物学24（11），1134-1137（2017），https://doi.org/10.1089/cmb.2017.0061 在对数据点进行加权时有效（甚至对于连续分布也有效；作为副产品，当d = 1时，将检索到众所周知的不等式：峰度始终大于平方偏斜加1）。

Answer 5

很难做到这一点而无需迭代。

我将进行如下操作：

1. 通过平均所有点的（X，Y，Z）坐标来找到整体中点

2. 得到的结果，找到到中点的平均距离Ravg，确定或继续。.

3. 从您的集合中删除点，使其与步骤2中找到的Ravg的距离太远

4. 返回第1步（再次取平均分，得出更好的中点）

当然，这需要（2）和（4）的某些条件，具体取决于点云的质量！

Answer 6

您可能会发现以下参考资料很有趣，但我会警告您 你需要对几何代数有一定的了解 - 特别是共形几何代数来理解 数学。但是，该算法很容易实现 标准的线性代数技术，不是迭代的。

一个警告，该算法，至少在所呈现的同时适合中心和 半径，您也许可以找到一种方法来约束拟合，从而约束半径。

使用 n-D 欧几里得空间中 k 球体的总最小二乘拟合 (n+2)-D 等距表示。 L Dorst, Journal of Mathematical Imaging and Vision, 2014 p1-21

您可以从 Here is a video from Kevin Powell that shows how to do it.

最后一件事，我和作者没有关系。