Question

我在准备考试时遇到了考试问题而且我坚持了下来。问题是：

设计一种算法，给定一组正整数X，确定方程x ⁵ + xy - y ² = y ³有一个x和y都属于X的解决方案。

不涉及编程，只是算法设计。有人可以分享他们的想法吗？

蛮力是不可接受的

Answer 1

伪代码：

result = false
foreach (x in X) {
    foreach (y in X) {
        if (x^5 + x*y - y^2 == y^3) result = true
    }
}

是否比预期更复杂？如果是这样，可以利用这样的高阶项x^5：

Sort X as a list from least to greatest.
result = false
foreach (y in X) {
    v = y*y*(y+1)
    foreach (x in X) {
        x2 = x*x
        u = x2*x2 + x*y - v
        if (u == 0) {
            result = true
            goto [DONE]
        }
        if (u > 0) goto [NEXT]
    }
    [NEXT]
}
[DONE]

Answer 2

对于（真的！）大输入，你可以：

对列表排序;
使用formula求解每个数字的三次方程。这里假设每个数字都是x，因此等式成为y的立方数，则该公式适用。但是这个公式可能需要很长时间，为了避免可能的精度问题，你可以插入答案来检查它。然后在排序列表（O（logn））上进行二进制搜索。

这将渐近地采用O（nlogn），但是常数因素很可怕并被大哦隐藏（好吧，如果你回答问题，不编码程序）。当然，如果允许散列（通常是面试的情况，但不一定是考试），这可能是O（n）。

Answer 3

作为x的函数求解y：http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E5%2B+xy+-+y%5E2+-+y%5E3

y(x) := INSERT_EQUATION_HERE
any((y in setX) for y in y(x) for x in setX)

这需要O（| X |），即线性时间。

或者，如果您没有使用具有any功能或列表操作的语言，那么您的解决方案必须更加冗长：

for x in setX:
    possibleYs = solveForY(x)
    for y in possibleYs:
        if y in setX:
            return SOLUTION:(x,y)
return NO_SOLUTION

你实际上不必像我上面所示那样解决二维多项式。相反，您可以考虑集合中的每个x;这修复了x并给出了y中的多项式。然后在恒定的时间内求解该多项式。例如，如果x = 0，我们找到y ^ 2 = = y ^ 3的3个解;如果x = 1，我们会发现2-y ^ 2 = = y ^ 3的3个解，如果x = -0.52，我们等等。解是http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function#General_formula_of_roots

问题的更一般版本：

如果考虑任意多项式，请注意此方法在以下情况下只能提供O（1）效率：min（max_x_degree，max_y_degree）＆lt; 5。这是因为，正如在Galois theory中所证明的那样，具有某些闭合形式解的唯一多项式是4阶或更小的那些。在这个问题中，我们可以将具有最高度数的变量转换为常数。

这并不是说在min（max_x_degree，max_y_degree）<5的情况下，其他方法无法获得O（1）效率。

如果增加变量数量，事情也会变得更有趣。

Answer 4

如果集合X不是很大，则可以通过构造2D矩阵来实现简单的强力算法。

如何确定x和y是否存在于满足等式的整数X集合中

4 个答案: