试图为Hermite多项式强制根源

Question

我有一个程序应该通过使用牛顿方法找到第**个hermite多项式的根，但是运行程序需要很长时间。我对C很陌生，所以我无法弄清楚我的bug在哪里，或者这只是暴力迫使这个问题的本质。我也遇到了准确根源的问题，但到目前为止，很难找到这个bug，因为我只能每5-10分钟运行一次测试用例

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Answer 1

我100％肯定Newton-Raphson没有充分理由花这么多时间。在某些情况下，它可能会有问题，因为这种方法无法保证收敛。但在你的具体情况下 - 应该没有问题。

有一点很明显，你怪异过度使用递归。只计算你的hermite，其中n = 37是一个递归，其复杂程度与37个Fibonacci数相加，大约 40,000 。

现在，请认为您的newton方法应该重复调用hermite，以及h_deriv（具有递归幅度的相同数量级），直到收敛为止到10^-12。听起来像几十个互动。

而且，还不够，你还设法实现newton 递归！世界上没有理由这么做。 （lisp / scheme是你的第一种编程语言吗？）

这是您应该采取的措施来改善绩效：

1. 修复您的hermite。你应该计算37 系数，这可以递归地完成。完成后 - 您应该使用它们来计算正常时间内多项式的值。

2. 衍生品相同。只需计算36个系数。

3. 可选择修复您的newton。据我所知 - 你不会获得太多的表现：你的“递归”仍然是一个尴尬的循环。然而，它看起来会更好，并且消耗更少的堆栈。

修改：

阅读评论后，我花时间尝试建立＆amp;跑这个。而且，我必须承认，我低估了问题的复杂性。

事实证明，由递归关系计算的系数迅速增长，并且舍入误差似乎占主导地位。因此，通过暴力解决这个问题具有不可避免的含义，并且使用预先计算的系数（并以直线顺序求和）并不明显产生相同的结果。

然而，有一种方法可以在不改变计算逻辑的情况下摆脱荒谬的递归：

const int N = 37;

double g_pHermiteValues[N+1];

void CalcHermiteAt(double x)
{
    double x2 = x*2;

    g_pHermiteValues[0] = 1.;
    g_pHermiteValues[1] = x2;

    for (int n = 2; n <= N; n++)
        g_pHermiteValues[n] =
            g_pHermiteValues[n - 1] * x2 - 
            g_pHermiteValues[n - 2] * 2*(n - 1);
}

double CalcHermiteDerivAt()
{
    return g_pHermiteValues[N - 1] * 2*N;
}

double newton(double x_0)
{
    const double tolerance = 1E-12;

    while (true)
    {
        CalcHermiteAt(x_0);

        if (abs(g_pHermiteValues[N]) < tolerance)
            return x_0;

        x_0 -= g_pHermiteValues[N] / CalcHermiteDerivAt();
    }
}

也就是说，我们使用相同的递归关系。只是为了计算给定点处的Hermite多项式的值，我们为所有多项式计算它，直到n = 37 <强>迭代，并将结果存储在全局数组中。然后它的顶部元素保存所需的结果，并且衍生物也从末尾的第二个数组元素推导出来。

因为在Newton-Raphson算法的每一步中我们都需要同一点的值和导数 - 这是有效的。

P.S。但到目前为止我无法找到解决方案。 Newton-Raphson并没有因为我试图开始的点而收敛。

我相信对于这样的问题，可以使用更稳健的方法，例如中值搜索。