我有一个连续值，我想计算exponential moving average。通常我只是使用标准公式：
其中S n 是新的平均值，α是α，Y是样本，S n-1 是先前的平均值。
不幸的是，由于各种问题，我没有一致的采样时间。我可能知道我最多可以采样，比如每毫秒一次，但由于我无法控制的因素，我可能无法一次采样几毫秒。然而，一个更常见的情况是我简单地提前或延迟采样：而不是在0,1和2毫秒采样。我在0,0.9和2.1毫秒采样。我确实预计，无论延迟如何，我的采样频率都会远远超过奈奎斯特极限，因此我不必担心混叠。
我认为我可以通过根据自上次样本以来的时间长度适当地改变alpha来以一种或多或少的合理方式处理这个问题。
我的部分原因是，这将起作用，EMA在前一个数据点和当前数据点之间“线性插值”。如果我们考虑以间隔t计算以下样本列表的EMA：[0,1,2,3,4]。如果我们使用区间2t，我们应该得到相同的结果，其中输入变为[0,2,4]，对吧？如果EMA假设，在t 2 时，自t 0 以来该值为2，那将与[0,2上计算的区间t计算相同2,4,4]，它没有做。或者这有意义吗？
有人可以告诉我如何适当地改变alpha吗？ “请展示你的作品。”即，向我展示数学，证明你的方法确实做得对。
答案 0 :(得分：46)
这个答案基于我对低通滤波器的理解（“指数移动平均”实际上只是一个单极点低通滤波器），但我对你正在寻找的东西有朦胧的理解。我认为以下是你想要的：
首先，您可以稍微简化您的等式（看起来更复杂但代码更容易）。我将使用“Y”作为输出，使用“X”作为输入（而不是S表示输出，Y表示输入，正如您所做的那样）。
Y n =αX+（1-α）Y n-1 →Y n = Y n-1 < / sub> +α（X - Y n-1 ）
代码：
Y += alpha * (X-Y);
其次，α的值在此等于1-e -Δt/τ，其中Δt是样本之间的时间，τ是低通滤波器的时间常数。我在引号中说“相等”，因为当Δt/τ比1小时，这很有效，并且α= 1-e -Δt/τ≈Δt/τ。 （但不是太小：你会遇到量化问题，除非你采用一些奇特的技术，否则你的状态变量S通常需要额外的N位分辨率，其中N = -log 2 （α）。）对于Δt/τ的较大值，滤波效果开始消失，直到你到达α接近1的点，你基本上只是将输入分配给输出。
这应该适用于不同的Δt值（Δt的变化不是很重要，只要alpha很小，否则你会遇到一些相当奇怪的奈奎斯特问题/混叠/等），如果你正在工作在乘法比分割便宜的处理器上，或定点问题很重要，预先计算ω= 1 /τ，并考虑尝试近似α的公式。
如果你真的想知道如何推导公式
α= 1-e -Δt/τ
然后考虑其微分方程源：
Y +τdY/ dt = X
，当X是单位阶跃函数时，其具有解Y = 1-e -t /τ。对于Δt的小值，导数可以近似为ΔY/Δt，产生
Y +τΔY/Δt= X
ΔY/Δt=（X-Y）/τ
ΔY=（X-Y）（Δt/τ）=α（X-Y）
并且α= 1-e -Δt/τ的“外推”来自于试图将该行为与单位阶跃函数情形匹配。
答案 1 :(得分：6)
答案 2 :(得分：2)
这不是一个完整的答案，但可能是一个问题的开始。在一个小时左右的时间里，这就是我所能得到的;我发布它作为我正在寻找的一个例子，也许是对解决这个问题的其他人的启发。
我从S 0 开始，这是前一个平均S -1 得到的平均值，而样本Y 0 取自t <子> 0 。 （t 1 - t 0 ）是我的采样间隔，α设置为适合该采样间隔的任何值和我希望平均的周期。
我考虑过如果我错过t 1 处的样本会发生什么，而是必须处理在t 2 2 >？那么，我们可以从扩展等式开始，看看如果我们有Y 1 会发生什么：
代：
我注意到这个系列似乎以这种方式无限扩展，因为我们可以无限期地替换右侧的S n ：
好吧，所以它不是真正的多项式（愚蠢的我），但如果我们将初始项乘以1，我们就会看到一种模式：
嗯：这是一个指数系列。 Quelle惊喜！想象一下，以指数移动平均线出现的等式！
所以无论如何，我有x 0 + x 1 + x 2 + x 3 +。 ......事情进展了，我确定我闻到了e或者在这里踢了一个自然的对数，但是在我没时间用完之前我不记得我要去哪里了。
答案 3 :(得分：1)
对此问题的任何回答，或此类答案的正确性证明，都取决于您所测量的数据。
如果你的样本是在t 0 = 0ms，t 1 = 0.9ms而t 2 = 2.1ms，但是你的选择α的基于1-ms间隔，因此您需要局部调整的α n ，选择正确性的证明意味着在t = 1ms和t = 2ms时知道样本值。
这导致了一个问题：你能否合理地插入你的数据，以便对两者之间的值进行合理的猜测？或者你甚至可以插入平均值吗？
如果这些都不可能，那么据我所知，中间值Y（t）的逻辑选择是最近计算的平均值，即Y（t） ≈S n 其中n是maxmial，使得t n 这种选择有一个简单的结果：无论时差是多少，都可以单独留下α。 另一方面，如果可以插值，那么这将为您提供可用的恒定间隔样本。最后，如果甚至可以插入平均值本身，那将使问题变得毫无意义。
答案 4 :(得分：1)
假设我们想在连续函数上进行指数衰减平均。但是我们没有该函数的所有值，只有少数样本。该公式将对我们确实具有的连续平均值的权重进行加权平均。
乘数 n = Alpha 时间 n -Time n-1
Sum n = Val n + Sum n-1 * Multiplier n
计数 n = 1 + Count n-1 *乘数 n
平均 n = Sum n / Count n
答案 5 :(得分：1)
使用略微不同的α等于（1-α问题中的那个），将新值Y添加到S 0的现有平均值的基本公式看起来像这样：
S（Y，S 0 ）=
（1-α）Y +αS 0 =
Y - αY+αS 0 =
Y +α（S 0 -Y）
如果我们现在添加时间间隔t的长度并假设只有α取决于该t，那么该公式如下所示：
S（Y，t，S 0 ）= Y +α t （S 0 -Y）
现在假设t = t 1 + t 2 。如果通过在时间间隔t 1 和t 2 中添加两个Y值来创建平均值，则得到的平均值如下所示：
S（Y，t 2 ，S（Y，t 1 ，S 0 ））=
Y +α t 2 （S（Y，t 1 ，S 0 ） - Y） =
Y +α t 2 （（Y +α t 1 （S 0 < / sub> -Y）） - Y）=
Y +α t 2 α t 1 （S 0 - Y）
如果这个平均值应该与一次加入整个t区间相同，那么α t =α t 1 < /子>α<子>吨<子> 2 。满足此要求的α的定义是：
α x ：= A x （对于某些常数A）
由于：
α t = A t = t 1 + t 2 = t 1 A t 2 = α<子>吨<子> 1 α<子>吨<子> 2
这导致以下平均功能：
S（Y，t，S 0 ）= Y + A t （S 0 -Y）
我还没有真正测试过这个，但是如果我做出的假设符合您的情况，那么这看起来像一个平均函数，可以很好地处理采样间隔的变化。
答案 6 :(得分：0)
我会单独留下alpha值，并填写缺失的数据。
由于您不知道在无法采样期间发生的情况，您可以使用0填充这些样本，或保持先前的值稳定并将这些值用于EMA。或者，如果您有新样本，请进行一些向后插值，填写缺失值，然后重新计算EMA。
我想要的是你有一个输入x[n]，它有漏洞。没有办法解决您丢失数据的事实。因此，您可以使用零阶保持，或将其设置为零，或在x[n]和x[n+M]之间进行某种插值，其中M是缺失样本的数量，n是开始的差距。甚至可能在n之前使用值。
答案 7 :(得分：0)
这类似于我的待办事项清单上的一个未解决的问题。我有一个计划在某种程度上解决了，但还没有数学工作来支持这个建议。
更新＆amp;摘要：希望保持平滑因子（alpha）与补偿因子无关（我在此称为beta）。杰森在这里已经接受的优秀答案对我来说非常有用。
第一步。
第二步。
这种平滑近似会错过什么？