关于背包问题的Wikipedia article包含三种类型的列表：
1-0（一种类型的一项）
有界（几种类型的物品）
无界限（无限数量的某类物品）
本文包含针对1.和3.类型问题的DP方法，但没有针对2的解决方案。
如何描述用于求解的动态规划算法？
答案 0 :(得分：8)
使用0-1变体，但允许重复解决方案中的项目，直到其绑定中指定的次数。您需要维护一个向量，说明您已在部分解决方案中包含的每个项目的副本数。
答案 1 :(得分：5)
提到的其他DP解决方案都不理想，因为它们要求您直接模拟问题，从而导致O(number of items * maximum weight * total count of items)的运行时复杂性。
有很多方法可以对此进行优化，在这里我将提及其中的一些：
一种解决方案是应用类似于Sqrt分解的技术，并在此处进行说明：https://codeforces.com/blog/entry/59606。该算法在O(number of items * maximum weight * sqrt(maximum weight))中运行。
但是，Dorijan Lendvaj在https://codeforces.com/blog/entry/65202?#comment-492168
处描述了一种运行速度更快的算法，该算法在O(number of items * maximum weight * log(maximum weight))中运行
想到上述方法的另一种方法是：
对于每种类型的商品，让我们定义以下值：
w，当前商品类型的重量/费用v，当前项目类型的值n，可使用的当前类型物品的副本数首先，让我们考虑2^k，它是2的最大幂小于或等于n。我们插入以下项目（每个插入的项目的格式为(weight, value)）：(w, v)，(2 * w, 2 * v)，(2^2 * w, 2^2 * v)，...，(2^(k-1) * w, 2^(k-1) * v)。请注意，每个插入的项目分别代表当前类型的项目的2^0，2^1，...，2^(k-1)个副本。
观察到这与插入当前项目类型的2^k - 1副本相同。这是因为我们可以通过采用与n'的二进制表示相对应的上述各项的组合来模拟任意数量的项（表示为n'）的取整（对于所有整数{{1 }}，如果设置了代表k'的位，则获取代表当前类型的2^k'个副本的项目。
最后，我们只插入与2^k'的设置位相对应的项目。 （对于所有整数n - (2^k - 1)，如果设置了代表k'的位，则插入2^k'。）
现在，我们可以简单地通过组合上述插入的项目来模拟最多(2^k' * w, 2^k' * v)个当前类型的项目。
我目前尚无此解决方案的确切证明，但是在试用了一段时间后，它似乎是正确的。如果可以弄清楚，我可以稍后再更新此帖子。
首先，一个命题：我们需要证明的是，插入上述项目使我们可以模拟采用任何数量的当前类型的项目，直到n。
考虑到这一点，让我们定义一些变量：
n为当前可用类型的项目数n为我们要采用的当前类型的物品数x为最大整数，使k 如果是2^k <= n，我们可以使用算法第1阶段中描述的方法轻松提取x < 2^k项：
...我们可以通过采用与n'的二进制表示相对应的上述各项的组合来模拟任意数量的项（表示为n'）（对于所有整数k'，如果该位代表2 ^ k'的商品已设置，请选择代表当前类型的商品的2 ^ k'副本的商品。
否则，我们将执行以下操作：
取x个项目。这是通过取出阶段2中插入的所有项目来完成的。现在只有阶段1中插入的项目可供使用。
取n - (2^k - 1)个项目。由于此值始终小于x - (n - (2^k - 1))，因此我们只能使用第一种情况下使用的方法。
最后，我们怎么知道2^k？
如果我们简化左侧，则会得到：
x - (n - (2^k - 1)) < 2^k
x - (n - (2^k - 1))
x - n + 2^k - 1
如果以上值为x - (n + 1) + 2^k，则>= 2^k为true，表示x - (n + 1) >= 0。这将是不可能的，因为这不是x > n的有效值。
最后，甚至有一种提到的方法here在x时间内运行。
该算法与提出的蛮力方法ic3b3rg类似，仅使用简单的DP优化和滑动窗口双端队列来缩短运行时间。
我的代码已针对以下问题（经典有界背包问题）进行了测试：https://dmoj.ca/problem/knapsack
答案 2 :(得分：3)
我在代码项目上发布了an article，它讨论了一种更有效的有界背包算法解决方案。
来自文章：
在动态编程解决方案中，m数组的每个位置都是a 能力的子问题j。在0/1算法中，针对每个子问题 我们考虑将每个项目的一个副本添加到背包中的价值。 在以下算法中，对于每个子问题，我们考虑该值 添加适合的数量或数量中的较小者 每个项目都有。
我还增强了代码，以便我们可以确定代码中的内容 优化的背包（而不是优化的值）。
ItemCollection[] ic = new ItemCollection[capacity + 1];
for(int i=0;i<=capacity;i++) ic[i] = new ItemCollection();
for(int i=0;i<items.Count;i++)
for(int j=capacity;j>=0;j--)
if(j >= items[i].Weight) {
int quantity = Math.Min(items[i].Quantity, j / items[i].Weight);
for(int k=1;k<=quantity;k++) {
ItemCollection lighterCollection = ic[j - k * items[i].Weight];
int testValue = lighterCollection.TotalValue + k * items[i].Value;
if(testValue > ic[j].TotalValue) (ic[j] = lighterCollection.Copy()).AddItem(items[i],k);
}
}
private class Item {
public string Description;
public int Weight;
public int Value;
public int Quantity;
public Item(string description, int weight, int value, int quantity) {
Description = description;
Weight = weight;
Value = value;
Quantity = quantity;
}
}
private class ItemCollection {
public Dictionary<string,int> Contents = new Dictionary<string,int>();
public int TotalValue;
public int TotalWeight;
public void AddItem(Item item,int quantity) {
if(Contents.ContainsKey(item.Description)) Contents[item.Description] += quantity;
else Contents[item.Description] = quantity;
TotalValue += quantity * item.Value;
TotalWeight += quantity * item.Weight;
}
public ItemCollection Copy() {
var ic = new ItemCollection();
ic.Contents = new Dictionary<string,int>(this.Contents);
ic.TotalValue = this.TotalValue;
ic.TotalWeight = this.TotalWeight;
return ic;
}
}
Code Project文章中的下载包括一个测试用例。
答案 3 :(得分：2)
例如，尝试使用{2（2次），4次（3次），...}的有界背包相当于使用{2,2,4,4,4，...来解决1-0背包。 ..}。
答案 4 :(得分：1)
我建议你使用背包分数贪婪方法算法。它的复杂性是O（n log n），也是最好的算法之一。 下面我在c＃中提到了它的代码。
private static void Knapsack()
{
Console.WriteLine("************Kanpsack***************");
Console.WriteLine("Enter no of items");
int _noOfItems = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());
int[] itemArray = new int[_noOfItems];
int[] weightArray = new int[_noOfItems];
int[] priceArray = new int[_noOfItems];
int[] fractionArray=new int[_noOfItems];
for(int i=0;i<_noOfItems;i++)
{
Console.WriteLine("[Item"+" "+(i+1)+"]");
Console.WriteLine("");
Console.WriteLine("Enter the Weight");
weightArray[i] = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());
Console.WriteLine("Enter the Price");
priceArray[i] = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());
Console.WriteLine("");
itemArray[i] = i+1 ;
}//for loop
int temp;
Console.WriteLine(" ");
Console.WriteLine("ITEM" + " " + "WEIGHT" + " "+"PRICE");
Console.WriteLine(" ");
for(int i=0;i<_noOfItems;i++)
{
Console.WriteLine("Item"+" "+(i+1)+" "+weightArray[i]+" "+priceArray[i]);
Console.WriteLine(" ");
}//For Loop For Printing the value.......
//Caluclating Fraction for the Item............
for(int i=0;i<_noOfItems;i++)
{
fractionArray[i] = (priceArray[i] / weightArray[i]);
}
Console.WriteLine("Testing.............");
//sorting the Item on the basis of fraction value..........
//Bubble Sort To Sort the Process Priority
for (int i = 0; i < _noOfItems; i++)
{
for (int j = i + 1; j < _noOfItems; j++)
{
if (fractionArray[j] > fractionArray[i])
{
//item Array
temp = itemArray[j];
itemArray[j] = itemArray[i];
itemArray[i] = temp;
//Weight Array
temp = weightArray[j];
weightArray[j] = weightArray[i];
weightArray[i] = temp;
//Price Array
temp = priceArray[j];
priceArray[j] = priceArray[i];
priceArray[i] = temp;
//Fraction Array
temp = fractionArray[j];
fractionArray[j] = fractionArray[i];
fractionArray[i] = temp;
}//if
}//Inner for
}//outer For
// Printing its value..............After Sorting..............
Console.WriteLine(" ");
Console.WriteLine("ITEM" + " " + "WEIGHT" + " " + "PRICE" + " "+"Fraction");
Console.WriteLine(" ");
for (int i = 0; i < _noOfItems; i++)
{
Console.WriteLine("Item" + " " + (itemArray[i]) + " " + weightArray[i] + " " + priceArray[i] + " "+fractionArray[i]);
Console.WriteLine(" ");
}//For Loop For Printing the value.......
Console.WriteLine("");
Console.WriteLine("Enter the Capacity of Knapsack");
int _capacityKnapsack = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());
// Creating the valuse for Solution
int k=0;
int fractionvalue = 0;
int[] _takingItemArray=new int[100];
int sum = 0,_totalPrice=0;
int l = 0;
int _capacity = _capacityKnapsack;
do
{
if(k>=_noOfItems)
{
k = 0;
}
if (_capacityKnapsack >= weightArray[k])
{
_takingItemArray[l] = weightArray[k];
_capacityKnapsack = _capacityKnapsack - weightArray[k];
_totalPrice += priceArray[k];
k++;
l++;
}
else
{
fractionvalue = fractionArray[k];
_takingItemArray[l] = _capacityKnapsack;
_totalPrice += _capacityKnapsack * fractionArray[k];
k++;
l++;
}
sum += _takingItemArray[l-1];
} while (sum != _capacity);
Console.WriteLine("");
Console.WriteLine("Value in Kg Are............");
Console.WriteLine("");
for (int i = 0; i < _takingItemArray.Length; i++)
{
if(_takingItemArray[i]!=0)
{
Console.WriteLine(_takingItemArray[i]);
Console.WriteLine("");
}
else
{
break;
}
enter code here
}//for loop
Console.WriteLine("Toatl Value is "+_totalPrice);
}//Method
答案 5 :(得分：-1)
我们可以使用0/1背包算法跟踪每个商品剩余的商品数量；
我们也可以对无限制背包算法进行同样的处理，以解决有限制背包问题。