Question

我试图用非整数值减少Knapsack DP算法所需的时间和空间。

http://en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem#Meet-in-the-Middle_Algorithm

In particular, if the [elements] are nonnegative but not integers, we could 
still use the dynamic programming algorithm by scaling and rounding (i.e. using 
fixed-point arithmetic), but if the problem requires  fractional digits of 
precision to arrive at the correct answer, W will need to be scaled by 10^d,  
and the DP algorithm will require O(W * 10^d) space and O(nW * 10^d) time.

DP背包算法使用[n x W]矩阵，用结果填充它，但有些列永远不会被填充 - 它们不匹配任何对象权重的组合。这样，它们最终会在每一行中填充零，只会浪费时间和空间。

如果我们使用哈希数组而不是矩阵，我们可以减少所需的时间和空间。

edit:
knapsack capacity = 2
items: [{weight:2,value:3} ]

   [0   1   2]
   [0   0   0] 
2: [0   0   3]
        ^
Do we need this column?

Substitution with hash:
2: {0:0, 2:3}

在Python中，dict插入有一个O（n）更坏的情况和一个O（1）＆＃34;摊销＆＃34;线性时间。

我错过了什么吗？

背包DP算法的这种变化的复杂性是什么？

Answer 1

你所说的是，如果我可以这么说的话，那些快乐的案例 - 你的物品数量非常少，可以插入量大的背包中。在这种情况下，hashmap可以证明是优化，触发从O(W * n)到O(min(O(2^n * n), O(W * n)))的复杂性（2^n是n个元素的组合数）。然而，通过这种估计，很明显，对于不是那么多的元素，O(2^n * n)将支配其他估计。另请注意，虽然O(W * n)属于同一类，但后一种情况下的常数要大得多（甚至更多：第二种情况下的估计考虑了摊销的复杂性，而不是最坏的情况）。

因此，在某些情况下，您可以证明哈希映射更好，但在通常情况下，反之亦然。

带有阵列哈希的背包DP

1 个答案: