算法C / C ++：使用n和d 32或64位整数计算（2 ^ n）％d的最快方法

Question

我正在搜索一种算法，允许我使用 n和d 32或64位整数计算 (2^n)%d 。

问题是，即使使用多精度库，也不可能将2^n存储在内存中，但可能存在仅使用32位或64位整数来计算(2^n)%d的技巧。

非常感谢。

Answer 1

查看Modular Exponentiation algorithm。

我们的想法是不计算2^n。相反，您在启动时会多次减少模数d。 That keeps the number small.

将该方法与Exponentiation by Squaring结合使用，您只需(2^n)%d步即可计算O(log(n))。

以下是一个小例子：2^130 % 123 = 40

2^1   % 123 = 2
2^2   % 123 = 2^2      % 123    = 4
2^4   % 123 = 4^2      % 123    = 16
2^8   % 123 = 16^2     % 123    = 10
2^16  % 123 = 10^2     % 123    = 100
2^32  % 123 = 100^2    % 123    = 37
2^65  % 123 = 37^2 * 2 % 123    = 32
2^130 % 123 = 32^2     % 123    = 40