Question

对于一些非常大的k和j（两者都是几百万的数量级），我需要计算0 ^ j，1 ^ j，...，k ^ j。我正在使用GMP来处理大整数（是的，我需要整数，因为我需要全精度）。现在，我想，一旦我完成了计算n ^ j的努力，是不是有办法加速（n + 1）^ j的计算，而不是从头开始？

以下是我目前用于计算功率的算法：

mpz_class pow(unsigned long int b, unsigned long int e)
{
    mpz_class res = 1;
    mpz_class m = b;

    while(e)
    {
        if(e & 1)
        {
            res *= m;   
        }

        e >>= 1;
        m *= m;
    }

    return res;
}

正如您所看到的，每次我从头开始，都需要花费很多时间。

Answer 1

您可能希望使用（n + 1）^ j的二项式展开为n ^ j + j n ^（j-1）+ j （j-1）/ 2 * n ^（j-2）+ ... + 1并且记忆已经计算的较低功率并且通过加法重新使用它们来在O（n）时间内计算（n + 1）^ j。如果在添加每个项时逐步计算系数j，j *（j-1）/ 2，...，也可以在O（n）中完成。

Answer 2

要计算n^j，为什么不找到n的至少一个因素，比如k执行n^j = k^j * (n/k)^j？在计算n^j时，k^j和(n/k)^j都应该是已知的。

但上述O(sqrt(n))的上述时间可能为n。正如您在上面的代码中所提到的，我们在n^j时间内O(log(j))独立计算了n。

所以你可以混合使用上面哪个更大：

如果log(j)远小于n^j，请按分解计算n^j。
每当{(2*n)^j, (3*n)^j, ..., ((n-1)*n)^j, n * n^j}知道计算n并将其保存在查找表中时。
如果log(j)大于n并且无法进行如上所述的就绪计算，请使用对数方法，然后计算上述其他相关功能。
如果2是j的纯粹力量（可能为Exponentiation by Squaring），请通过移位计算n幂并计算相关总和。
如果import Vue from 'vue' import Zoom from 'src/components/Zoom' import $ from 'jquery' /* eslint-disable no-unused-vars */ /** * get template for wrapper Vue object make Vue with Zoom component and that template * @param wrapperTemplate * @returns {Vue$2} */ const makeWrapper = (wrapperTemplate = '<div><zoom ref="component"></zoom></div>') => { return new Vue({ template: wrapperTemplate, components: {Zoom} }) } const startWrapperWidth = 1093 const startWrapperHeight = 289 const startImageWidth = 1696 const startImageHeight = 949 const padding = 15 /** * gets vueWrapper and return component from it * @param vueWrapper * @param useOffset * @returns {'Zoom component'} */ const setSizesForComponent = (vueWrapper) => { vueWrapper.$mount() var cmp = vueWrapper.$refs.component var $elWrapper = $(cmp.$el) var $elImage = $elWrapper.find(cmp.selectors.image) $elWrapper.width(startWrapperWidth) $elWrapper.height(startWrapperHeight) $elWrapper.css({padding: padding}) $elImage.width(startImageWidth) $elImage.height(startImageHeight) cmp.calculateSizesAndProportions() return cmp } describe('onZoom method (run on mousemove)', () => { sinon.spy(Zoom.methods, 'onZoom') let vueWrapper = makeWrapper() let cmp = setSizesForComponent(vueWrapper) let e = document.createEvent('HTMLEvents') e.initEvent('mousemove', true, true) e.pageX = 150 e.pageY = 250 let callsOnZoomBeforeMousemove = Zoom.methods.onZoom.callCount cmp.$el.dispatchEvent(e) describe('left and top computed props', () => { it('left', () => { expect(cmp.left).is.equal(-74) }) it('top', () => { expect(cmp.top).is.equal(-536) }) }) })是偶数（再次计算常数时间），请使用分解方法并计算相关产品。

以上应该会很快。例如，偶数的识别本身应该将一半的功率计算转换为乘法。可能会有更多关于因子分解的拇指规则可以进一步减少计算（特别是对于3,7等的可分性）

从（n ^ j）计算（n + 1）^ j的最快方法

2 个答案: