如何证明fo：n，nat，~n

Question

我已经困惑了几个小时，我无法弄清楚如何证明

forall n:nat, ~n<n

在Coq。我真的需要你的帮助。有什么建议吗？

Answer 1

这个引理在标准库中：

Require Import Arith.
Lemma not_lt_refl : forall n:nat, ~n<n.
Print Hint.

其中的结果是lt_irrefl。实现这一目标的更直接方式是

info auto with arith.

证明了目标，并说明了如何：

intro n; simple apply lt_irrefl.

既然你知道在哪里可以找到证明，我只会从第一原则（我认为这是你的家庭作业的重点）提示如何做到这一点。

首先，你需要证明一个否定。这几乎意味着你将n<n作为一个假设，并证明你可以推断出一个矛盾。然后，在n<n上推理，将其展开为其定义。

intros h H.
red in H.   (* or `unfold lt in H` *)

现在你需要证明S n <= n不可能发生。要从第一原则做到这一点，您有两个选择：您可以尝试导入n，或者您可以尝试导入<=。 <=谓词是通过归纳来定义的，通常在这些情况下你需要引导它 - 也就是说，通过对你的假设证明的归纳来推理。但是，在这里，您最终需要在n上进行推理，以证明n不能成为S n的m ^th 后继者，并且您可以开始直接引导n。

在induction n之后，你需要证明基本情况：你有假设1 <= 0，你需要证明这是不可能的（目标是False）。通常，要将归纳假设分解为案例，您可以使用induction策略或其中一种变体。这种策略构成了对假设的相当复杂的依赖案例分析。查看正在发生的事情的一种方法是调用simple inversion，这会留下两个子目标：假设1 <= 0的证明使用le_n构造函数，这需要1 = 0或者该证明使用le_S构造函数，这需要S m = 0。在这两种情况下，要求显然与S的定义相矛盾，因此策略discriminate证明了子目标。而不是simple inversion H，您可以使用inversion H，在这种特殊情况下直接证明目标（不可能的假设情况非常常见，并且它已经融入了完整的inversion策略）

现在，我们转向归纳案例，我们很快就会从S n <= n证明S (S n) <= S n。我建议您将此声明为单独的引理（首先要证明），这可以概括为：forall n m, S n <= S m -> n <= m。

Answer 2

Require Import Arith.
auto with arith.