在给定整数约束的Mathematica中简化积分结果的正确方法

Question

评估以下积分应该是非零的，并且mathematica正确地给出非零结果

Integrate[ Cos[ (Pi * x)/2 ]^2 * Cos[ (3*Pi*x)/2 ]^2, {x, -1, 1}]

然而，尝试更一般的积分：

FullSimplify[
    Integrate[Cos[(Pi x)/2]^2 Cos[((2 n + 1) Pi x)/2] Cos[((2 m + 1) Pi x)/2], 
              {x, -1, 1}], 
    Element[{m, n}, Integers]]

产生零，对于m = n = 1

，这肯定不正确

我期待一个条件表达式。是否有可能在评估积分之前“告诉”mathematica关于m和n的约束，以便它能正确处理特殊情况？

Answer 1

虽然我迟到了，但到目前为止还没有人给出完整的解决方案。

有时，在整合之前更好地理解被积函数是值得的。考虑，

ef = TrigReduce[
    Cos[(Pi x)/2]^2 Cos[((2 n + 1) Pi x)/2] Cos[((2 m + 1) Pi x)/2]]/.
  Cos[a_] :> Cos[ Simplify[a, Element[{m,n}, Integers] ] ]

返回

(2 Cos[(m - n) Pi x] + Cos[(1 + m - n) Pi x] + Cos[(1 - m + n) Pi x] + 
 Cos[(m + n) Pi x] + 2 Cos[(1 + m + n) Pi x] + Cos[(2 + m + n) Pi x] )/8

其中每个字词的格式为Cos[q Pi x]，其中包含整数q。现在，将Cos[q Pi x]整合到-1到1（其中q为整数）时，需要考虑两种情况：q == 0和q != 0。

案例q = 0 ：这是Mathematica在一般结果中遗漏的一个特例，因为它意味着一个不变的被积函数。 （我经常会错过它，当手工操作时，所以Mathematica并不是完全可以责备的。）所以，积分是2，在这种情况下。

严格地说，这不是真的。当被告知将Cos[ q Pi x ]整合到-1 < x < 1时，Mathematica会返回

2 Sin[ Pi q ]/( Pi q )

0，q == 0除外。此时，严格意义上的函数未定义，但是Limit[Sin[x]/x, q -> 0] == 1。由于q == 0处的奇点为removable，因此2时积分为q -> 0。因此，Mathematica不会错过它，它只是一种不能立即识别的形式。

案例q != 0 ：由于Cos[Pi x]是周期性的第2期，因此从Cos[q Pi x]到x == -1的{​​{1}}的积分将会总是超过x == 1期。换句话说，

q

合在一起，这意味着

Integrate[ Cos[q Pi x], {x, -1, 1}, 
  Assumptions -> (Element[ q, Integers ] && q != 0) ] == 0

使用它，我们可以通过

集成扩展形式的被积函数

Integrate[ Cos[q Pi x], {x, -1, 1}, Assumptions -> Element[ q, Integers ] ] == 
Piecewise[{{ q == 0, 2 }, { 0, q!=0 }}]

承认非完整的解决方案。为了清理它，我们需要将条件减少到只有那些具有完整解决方案的条件，我们可以简化：{/ p>

intef = ef /. Cos[q_ Pi x] :> Piecewise[{{2, q == 0}, {0, q != 0}}] // 
 PiecewiseExpand 

<强> \开始{编辑}

为了限制混淆，内部(Piecewise[{#1, LogicalExpand[Reduce[#2 , {m, n}, Integers]] // Simplify[#] &} & @@@ #1, #2] & @@ intef) /. C[1] -> m 具有结构

Piecewise

在使用{ { { value, condition } .. }, default } （Apply）时，条件列表是第一个参数，默认值是第二个参数。为了处理这个，我需要简化每个值的条件，然后我在条件列表上使用@@（@@@）的第二个简短形式，以便对于每个值条件对，我得到< / p>

Apply

简化过程使用{ value, simplified condition } 将条件限制为整数，Reduce以帮助消除冗余，LogicalExpand限制术语数量。 Simplify在内部使用arbitrary constant，Reduce，它设置为C[1]，因此我们将C[1] == m设置回C[1]以完成简化< / p>

<强> \ {结束编辑}

给出了

m

作为完整的解决方案。

另一个编辑：我应该指出1/2和1/4案例都包含3/4案例中Piecewise[{ {3/4, (1 + n == 0 || n == 0) && (1 + m == 0 || m == 0)}, {1/2, Element[m, Integers] && (n == m || (1 + m + n == 0 && (m <= -2 || m >= 1)))}, {1/4, (n == 1 + m || (1 + n == m && (m <= -1 || m >= 1)) || (m + n == 0 && (m >= 1 || m <= 0)) || (2 + m + n == 0 && (m <= -1 || m >= 0))) && Element[m, Integers]}, {0, True} } 和m的值。似乎3/4的情况可能是另外两个的交集，因此，它们的总和。 （我没有完成计算，但我强烈怀疑它是真的。）n按顺序评估条件（我认为），所以没有机会弄错。

再次编辑：Piecewise对象的简化效率不高。问题在于替换规则Piecewise的位置。它发生在C[1] -> m使用它的过程的后期。但是，如果它被带入Simplify并且假设被添加到LogicalExpand

Simplify

然后产生更清洁的结果

(Piecewise[{#1, 
    LogicalExpand[Reduce[#2 , {m, n}, Integers] /. C[1] -> m] // 
     Simplify[#, {m, n} \[Element] Integers] &} & @@@ #1, #2] & @@ intef)

Answer 2

并非总是零......

k = Integrate[
         Cos[(Pi x)/2]^2 Cos[((2 (n) + 1) Pi x)/2] Cos[((2 m + 1) Pi x)/ 2], 
         {x, -1, 1}, Assumptions -> Element[{m, n}, Integers]];

(*Let's find the zeroes of the denominator *)

d = Denominator[k];
s = Solve[d == 0, {m, n}]

(*The above integral is indeterminate at those zeroes, so let's compute 
  the integral again there (a Limit[] could also do the work) *)

denZ = Integrate[
          Cos[(Pi x)/2]^2 Cos[((2 (n) + 1) Pi x)/2] Cos[((2 m + 1) Pi x)/ 2] /.s, 
          {x, -1, 1}, Assumptions -> Element[{m, n}, Integers]];

(* All possible results are generated with m=1 *)

denZ /. m -> 1

(*
{1/4, 1/2, 1/4, 1/4, 1/2, 1/4}
*)

可视化这些案例：

Plot[Cos[(Pi x)/2]^2 Cos[((2 (n) + 1) Pi x)/2] Cos[((2 m + 1) Pi x)/2] 
     /. s /. m -> 1, {x, -1, 1}]

与零结果积分比较：

Plot[Cos[(Pi x)/2]^2 Cos[((2 (n) + 1) Pi x)/2] Cos[((2 m + 1) Pi x)/ 2] 
     /. {m -> 1, n -> 4}, {x, -1, 1}]

Answer 3

如果您放弃整个FullSimplify部分，mathematica会为您整齐地进行整合。

Integrate[
 Cos[(Pi x)/2]^2 Cos[((2 n + 1) Pi x)/2] Cos[((2 m + 1) Pi x)/
    2], {x, -1, 1}]

要包含m和n为整数的条件，最好使用Assumptions中的Integrate选项。

Integrate[
 Cos[(Pi x)/2]^2 Cos[((2 n + 1) Pi x)/2] Cos[((2 m + 1) Pi x)/
    2], {x, -1, 1}, Assumptions -> Element[{m, n}, Integers]]

Answer 4

让我们对两个整数m=n||m!=n使用一些确凿的条件。

Assuming[{(n \[Element] Integers && m \[Element] Integers && m == n)},
Integrate[Cos[(Pi x)/2]^2 Cos[((2 n + 1) Pi x)/2] Cos[((2 m + 1) Pi x)/2],
{x, -1, 1}]]

此案例的答案是1/2。对于另一种情况，它是

Assuming[{(n \[Element] Integers && m \[Element] Integers && m != n)},
Integrate[
Cos[(Pi x)/2]^2 Cos[((2 n + 1) Pi x)/2] Cos[((2 m + 1) Pi x)/
 2], {x, -1, 1}]]

，答案是0。

但令我惊讶的是，如果我们将这两个条件添加为“或者其他”，Mathematica会在积分后返回零。我的意思是在以下情况下我只得到零，但不是“1/2 || 0”。

Assuming[{(n \[Element] Integers && m \[Element] Integers && 
 m == n) || (n \[Element] Integers && m \[Element] Integers && 
 m != n)}, 
Integrate[
Cos[(Pi x)/2]^2 Cos[((2 n + 1) Pi x)/2] Cos[((2 m + 1) Pi x)/
 2], {x, -1, 1}]]

顺便说一下，我们可以看到这个积分变为Indeterminate的条件。

res = Integrate[
Cos[(Pi x)/2]^2 Cos[((2 n + 1) Pi x)/2] Cos[((2 m + 1) Pi x)/
  2], {x, -1, 1}] // Simplify

输出在这里。

现在让我们看看所有关系m和n可能导致Integral坏了！

BadPart = (res*4 Pi);
Flatten@(Solve[(Denominator[#] == 0), m] & /@ 
 Table[BadPart[[i]], {i, 1, Length@BadPart}] /. 
Rule -> Equal) // TableForm

所以这些是Sjoerd提到的具有无限实例的特殊情况。

BR