Question

今天我正在阅读Julienne Walker关于排序的一篇很棒的文章 - Eternally Confuzzled - The Art of Sorting，有一件事引起了我的注意。我不太了解作者证明通过比较排序我们受限于Ω（ N ·log N ）下限的部分

下限并不那么明显。大多数排序算法的最低可能范围是Ω（ N ·log N ）。这是因为大多数排序算法使用项目比较来确定项目的相对顺序。通过比较排序的任何算法都将具有Ω的最小下界（ N ·log N ），因为比较树用于选择已排序的排列。可以很容易地构建三个数字1,2和3的比较树：
                         1 < 2

           1 < 3                       1 < 3

   2 < 3           3,1,2       2,1,3           2 < 3

1,2,3   1,3,2                            2,3,1     3,2,1
注意每个项目如何与其他项目进行比较，并且每个路径都会导致三个项目的有效排列。树的高度决定了排序算法的下限。因为必须存在与算法正确的排列一样多的叶子，所以比较树的最小可能高度是log N ！，等于Ω（ N ·log N ）。

在我不太明白的最后一部分（粗体）之前似乎是非常合理的 - 如何记录 N ！相当于Ω（ N ·log N ）。我必须从我的CopmSci课程中遗漏一些东西，无法完成最后的过渡。如果我们通过比较使用排序，我期待着对此有所帮助，或者期待我们有限的其他证据Ω（ N ·log N ）。

Answer 1

你没有错过CompSci课程的任何内容。你错过的是数学课。 Stirling的近似的维基百科页面显示了log n！渐近n log n +低阶项。

Answer 2

N！＆LT; N 1，N
∴记录N！＆LT; log（N ^ N）
∴记录N！＆lt; N * log N

有了这个，你可以证明θ（log N！）= O（N log N）。证明相同的Ω留作读者的练习，或mathematics stackexchange或theoretical computer science stackexchange的问题。

Answer 3

我最喜欢的证明是非常基本的。

N！ = 1 * 2 * .. * N - 1 * N

我们可以通过假装那些产品的前半部分不存在而非常容易下限，然后下半部分都只是N / 2.

（N / 2）^（N / 2）＆lt; = N！

log（（N / 2）^（N / 2）= N / 2 * log（N / 2）= N / 2 *（log（N）-1）= O（n log n）

所以，即使你只使用表达式的后半部分，并假装所有这些因子都不大于N / 2，你仍然处于O（n log n）区域的下限，这是超级的初级。我可以说服一个普通的高中生。我自己甚至无法得出斯特林的公式。

通过比较排序的下限

3 个答案: