找出两个三角形是否相交

Question

给出2组积分

（（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），（x3，y3，z3））和

（（p1，q1，r1），（p2，q2，r2），（p3，q3，r3））每个在3D空间中形成一个三角形。

您如何知道这些三角形是否相交？

这个问题的一个明显的解决方案是找到由每个三角形形成的平面的方程。如果平面是平行的，那么它们就不会相交。

否则，使用这些平面的法向量找出由这些平面的交点形成的线的方程。

现在，如果这条线位于两个三角形区域，那么这两个三角形相交，否则不相交。

trianglesIntersect(Triangle T1, Triangle T2)
{
   if(trianglesOnParallelPlanes(T1, T2))
   {
      return false
   }
   Line L1 = lineFromPlanes(planeFromTriangle(T1), planeFromTriangle(T2))
   if(lineOnTriangle(T1, L1) AND lineOnTriangle(T2, L1))
   {
      return true
   }
   return false
}

鉴于我知道如何编写上述函数，我应该考虑使用trianglesIntersect的其他实现吗？

是否有更快的算法可以解决这个问题？

Answer 1

Answer 2

我基于分离轴定理，仅针对非共面三角形实现了Dynamic Collision Detection using Oriented Bounding Boxes 中描述的算法。

这是我的GitHub存储库，其中包含代码（在文件collision-tests.js中）和演示/测试页面：

• kenny-evitt/three-js-triangle-triangle-collision-detection: Implementation of triangle-triangle collision detection in three.js

故意编写代码以匹配“动态碰撞”文档的相关部分。下面是交集测试功能（以及collision-tests.js文件的全部内容）。请注意，Three.js三角形对象具有三角形的三个顶点的a，b和c属性。

/**
 * @function
 * @param {THREE.Triangle} t1 - Triangular face
 * @param {THREE.Triangle} t2 - Triangular face
 * @returns {boolean} Whether the two triangles intersect
 */
function doTrianglesIntersect(t1, t2) {

  /*
  Adapated from section "4.1 Separation of Triangles" of:

   - [Dynamic Collision Detection using Oriented Bounding Boxes](https://www.geometrictools.com/Documentation/DynamicCollisionDetection.pdf)
  */


  // Triangle 1:

  var A0 = t1.a;
  var A1 = t1.b;
  var A2 = t1.c;

  var E0 = A1.clone().sub(A0);
  var E1 = A2.clone().sub(A0);

  var E2 = E1.clone().sub(E0);

  var N = E0.clone().cross(E1);


  // Triangle 2:

  var B0 = t2.a;
  var B1 = t2.b;
  var B2 = t2.c;

  var F0 = B1.clone().sub(B0);
  var F1 = B2.clone().sub(B0);

  var F2 = F1.clone().sub(F0);

  var M = F0.clone().cross(F1);


  var D = B0.clone().sub(A0);


  function areProjectionsSeparated(p0, p1, p2, q0, q1, q2) {
    var min_p = Math.min(p0, p1, p2),
        max_p = Math.max(p0, p1, p2),
        min_q = Math.min(q0, q1, q2),
        max_q = Math.max(q0, q1, q2);

    return ((min_p > max_q) || (max_p < min_q));
  }


  // Only potential separating axes for non-parallel and non-coplanar triangles are tested.


  // Seperating axis: N

  {
    var p0 = 0,
        p1 = 0,
        p2 = 0,
        q0 = N.dot(D),
        q1 = q0 + N.dot(F0),
        q2 = q0 + N.dot(F1);

    if (areProjectionsSeparated(p0, p1, p2, q0, q1, q2))
      return false;
  }


  // Separating axis: M

  {
    var p0 = 0,
        p1 = M.dot(E0),
        p2 = M.dot(E1),
        q0 = M.dot(D),
        q1 = q0,
        q2 = q0;

    if (areProjectionsSeparated(p0, p1, p2, q0, q1, q2))
      return false;
  }


  // Seperating axis: E0 × F0

  {
    var p0 = 0,
        p1 = 0,
        p2 = -(N.dot(F0)),
        q0 = E0.clone().cross(F0).dot(D),
        q1 = q0,
        q2 = q0 + M.dot(E0);

    if (areProjectionsSeparated(p0, p1, p2, q0, q1, q2))
      return false;
  }


  // Seperating axis: E0 × F1

  {
    var p0 = 0,
        p1 = 0,
        p2 = -(N.dot(F1)),
        q0 = E0.clone().cross(F1).dot(D),
        q1 = q0 - M.dot(E0),
        q2 = q0;

    if (areProjectionsSeparated(p0, p1, p2, q0, q1, q2))
      return false;
  }


  // Seperating axis: E0 × F2

  {
    var p0 = 0,
        p1 = 0,
        p2 = -(N.dot(F2)),
        q0 = E0.clone().cross(F2).dot(D),
        q1 = q0 - M.dot(E0),
        q2 = q1;

    if (areProjectionsSeparated(p0, p1, p2, q0, q1, q2))
      return false;
  }


  // Seperating axis: E1 × F0

  {
    var p0 = 0,
        p1 = N.dot(F0),
        p2 = 0,
        q0 = E1.clone().cross(F0).dot(D),
        q1 = q0,
        q2 = q0 + M.dot(E1);

    if (areProjectionsSeparated(p0, p1, p2, q0, q1, q2))
      return false;
  }


  // Seperating axis: E1 × F1

  {
    var p0 = 0,
        p1 = N.dot(F1),
        p2 = 0,
        q0 = E1.clone().cross(F1).dot(D),
        q1 = q0 - M.dot(E1),
        q2 = q0;

    if (areProjectionsSeparated(p0, p1, p2, q0, q1, q2))
      return false;
  }


  // Seperating axis: E1 × F2

  {
    var p0 = 0,
        p1 = N.dot(F2),
        p2 = 0,
        q0 = E1.clone().cross(F2).dot(D),
        q1 = q0 - M.dot(E1),
        q2 = q1;

    if (areProjectionsSeparated(p0, p1, p2, q0, q1, q2))
      return false;
  }


  // Seperating axis: E2 × F0

  {
    var p0 = 0,
        p1 = N.dot(F0),
        p2 = p1,
        q0 = E2.clone().cross(F0).dot(D),
        q1 = q0,
        q2 = q0 + M.dot(E2);

    if (areProjectionsSeparated(p0, p1, p2, q0, q1, q2))
      return false;
  }


  // Seperating axis: E2 × F1

  {
    var p0 = 0,
        p1 = N.dot(F1),
        p2 = p1,
        q0 = E2.clone().cross(F1).dot(D),
        q1 = q0 - M.dot(E2),
        q2 = q0;

    if (areProjectionsSeparated(p0, p1, p2, q0, q1, q2))
      return false;
  }


  // Seperating axis: E2 × F2

  {
    var p0 = 0,
        p1 = N.dot(F2),
        p2 = p1,
        q0 = E2.clone().cross(F2).dot(D),
        q1 = q0 - M.dot(E2),
        q2 = q1;

    if (areProjectionsSeparated(p0, p1, p2, q0, q1, q2))
      return false;
  }


  return true;
}