使用Mathematica对复变量函数的几何解释？

Question

如何在mathematica中编写代码以查看如下结果：

如您所见，我们有复杂的函数w=f(z)，其中z=x+iy和w=u+iv。

在此示例w=sin z中，我们看到垂直线x=c的图像是双曲线。 （左）

并且水平线y=c的图像是椭圆形。 （右）

这张照片摘自“复杂的变量和应用，由詹姆斯沃德布朗，鲁尔万斯丘吉尔”，第8版：第331和333页或第三版第96-97页

Answer 1

这样的东西？

ClearAll[u, v, f];
f[z_] := Sin[z]
u[x_, y_] := Re@f[x + I*y];
v[x_, y_] := Im@f[x + I*y];

编辑：这只是产生了整个事情。如果您想查看与虚轴平行的单个路径会发生什么，请尝试

ParametricPlot[{u[5, y], v[5, y]}, {y, -3, 3}]

或与实轴相同并尝试

ParametricPlot[{u[x, 1], v[x, 1]}, {x, -3, 3}]

EDIT2：互动：

ClearAll[u, v, f];
f[z_] := Sin[z]
u[x_, y_] := Re@f[x + I*y];
v[x_, y_] := Im@f[x + I*y];

Manipulate[
Show[
    Graphics[{Line[{p1, p2}]}, PlotRange \[Rule] 3, Axes \[Rule] True],
    ParametricPlot[
        {u[p1[[1]] + t (p2[[1]] - p1[[1]]), 
 p1[[2]] + t (p2[[2]] - p1[[2]])],
            v[p1[[1]] + t (p2[[1]] - p1[[1]]), 
 p1[[2]] + t (p2[[2]] - p1[[2]])]},
        {t, 0, 1},
        PlotRange \[Rule] 3]],
{{p1, {0, 1}}, Locator},
{{p2, {1, 2}}, Locator}]

（丑陋，是的，但现在没时间修复它）。典型输出：

或

这个想法是你可以改变你给出的数字左侧的线条（通过点击图表，相当于点击Argand图...）并查看相应的图像。

Answer 2

根据您对表示的处理方式，有时可能有助于在3D中可视化黎曼曲面。这是3D中w=sin(z)的表面，整齐地显示了分支切口和不同的分支（与acl的第一个绘图相同，但是在3D中）。

ParametricPlot3D[
 Evaluate[{Re@Sin[z], Im@Sin[z], y} /. z -> x + I y], {x, -2, 
  2}, {y, -2, 2}]