Matlab-如何实现反向欧拉方法？

Question

我正在尝试实现以下公式：

正向欧拉方法：

这是我尝试过的：

x_new = (speye(nv)+ dt * lambda * L) * x_old;

这有什么问题吗？如何使用 sparse 操作进行计算？

后向欧拉法：

我已经尝试过了：

x_new = (speye(nv)- dt * lambda * L) \ x_old;

如何实现基于新的x计算现有x的后退部分？可以使用除法吗？

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L是这样的稀疏矩阵：

full(L) =

   -1.0000    0.2500    0.2500    0.2500    0.2500
    0.3333   -1.0000    0.3333         0    0.3333
    0.3333    0.3333   -1.0000    0.3333         0
    0.3333         0    0.3333   -1.0000    0.3333
    0.3333    0.3333         0    0.3333   -1.0000

对于其他变量，我们也有类似这样的内容：

nv = 5;
dt = 0.01;
lambda = 0.5;

x_old =   [-4 0 5;
            1 -5 5;
            1 0 1;
            1 5 5;
            1 0 0]

Answer 1

我在这里没有看到域，但是Backward Euler方法是基本的常微分方程求解器。

当x_new站在方程的两边时，有两种方法可以解决这种情况。

1。 Fixed point iteration

您使用x_new_temp，并在第一次迭代中将x_new_temp设置为x_old，并使用Forward Euler公式进行几次迭代。在迭代可能受到迭代x_new_temp与i的{​​{1}}之间的某些差异的限制之后，您将上一次迭代的i-1设置为x_new。

2。用适当的方法求解非线性方程，例如Newton-Raphson method

后向欧拉公式规定：

x_new_temp

我们可以将其转换为：

y_new = y_old + k*f(t,y_old)

这是一个基本的非线性函数，可以使用旨在解决此类问题的任何数值方法来求解。

在您的情况下，当涉及矩阵时，我会进行定点迭代。