如何在FiPy中编写具有自变量的方程式项？

Question

我正在寻找使用FiPy求解扩散方程的方法，并且已经阅读了一些文档，但是似乎找不到与编写包含附加项的扩散项有关的任何东西，这些附加项是自变量的函数（即空间） ）。我发现最接近的是FAQ，他们建议将其他术语重写为ConvectionTerm。但是，我认为这仅适用于附加项是解决方案变量而不是自变量的函数的情况。例如，我尝试使用以下扩散项（其中导数是自变量x的w.r.t.，y是解变量）来求解一维扩散方程：

D * sin(x) * Div_x {sin(x) * Grad_x {y}}

我觉得这是一个非常简单的表达式，但是我找不到如何用FiPy表示法表达它。任何帮助将不胜感激！

确切代码：

from fipy import Variable,FaceVariable,CellVariable,Grid1D,ImplicitSourceTerm,TransientTerm,DiffusionTerm,Viewer,ConvectionTerm
from fipy.tools import numerix

D = 1
c0 = 1
ka = 1
r0 = 1

nx = 100
dx = 2*math.pi/100
mesh = Grid1D(nx=nx, dx=dx)
conc = CellVariable(name="concentration", mesh=mesh, value=0.) # This is the "phi" in the docs
valueLeft = c0
valueRight = 0
conc.constrain(valueRight, mesh.facesRight)
conc.constrain(valueLeft, mesh.facesLeft)
timeStepDuration = 0.9 * dx**2 / (2 * D)
steps = 100
show_per_steps = 50

A = 1 / (r0**2 * numerix.sin(mesh.x)[0])
dA = -(numerix.cos(mesh.x)[0])/(r0**2 * numerix.sin(mesh.x)[0]**2)
dsindA = (numerix.cos(mesh.x)[0])**3/(numerix.sin(mesh.x)[0])**2
eqX = TransientTerm() + ImplicitSourceTerm(ka) == DiffusionTerm(D*A*numerix.sin(mesh.x)[0]) - ConvectionTerm(D*dA*numerix.cos(mesh.x)[0])+ D*conc*dsindA

from builtins import range
for step in range(steps):
    eqX.solve(var=conc, dt=timeStepDuration)
    if __name__ == '__main__' and step % show_per_steps == 0:
        viewer = Viewer(vars=(conc), datamin=0., datamax=c0)
        viewer.plot()

Answer 1

FiPy允许项的系数成为空间的函数。例如，以下内容适用于FiPy，

from fipy import Grid1D, CellVariable, Viewer
from fipy import TransientTerm, numerix, DiffusionTerm
from fipy import LinearLUSolver

m = Grid1D(nx=100, Lx=numerix.pi / 4.)

v = CellVariable(mesh=m)
v[:] = m.x**2

eqn = TransientTerm() == DiffusionTerm(numerix.sin(m.x))
vi = Viewer(v, colorbar=None)
vi.plot()
solver = LinearLUSolver()
for i in range(10):
    eqn.solve(v, dt=0.1, solver=solver)
    vi.plot()
    print('step', i)

input('stopped')

在上面，扩散系数是空间的函数。 m.x是保存单元格中心位置的CellVariable。 numerix用于启用FiPy变量的运算，其方式与Numpy对Numpy数组相同。

现在，在上述问题中，派生词之外还有sin(x)，这在FiPy中是不允许的。一切都需要包含在派生工具中才能与FiPy一起使用。因此，我们需要重写该项，以便所有系数都在导数之内。对于任何一般情况，我们都可以写

这使我们可以使用扩散，对流和源来表示FiPy中的术语。如果f=sin(x)和g=sin(x)，则FiPy代码为

s = numerix.sin(m.cellCenters)
c = numerix.cos(m.cellCenters)
eqn = ... + DiffusionTerm(D * s[0] * s[0]) - ConvectionTerm(D * s * c) + D * y * (c[0] * c[0] - s[0] * s[0])

包含...，因为我不知道完整的方程式。