将玩家分为“优胜者”和“失败者”：如何证明贪婪的解决方案能带来最佳结果？

Question

我遇到以下问题：

  n个玩家（其中n是偶数）要互相对战。每个人都不一定会玩，但玩家只能与他人对战一次。如果两个人确实决定互相对抗，我们将有一个失败者和一个获胜者。然后，我希望将我的n位玩家分成大小为n / 2的两组：赢家（W）和输家（L）。我希望赢家中的所有玩家都不会输给输家中的某人。

     

这是不可能的。对于4个玩家和游戏，p1对p2赢了，p2对p3赢了，p3对p4赢了，p4对p1赢了，那么就没有办法将玩家分为W和L。我要做的第二件事是，我希望最小化我的错误：W的玩家输给L的玩家（不互相对抗不算损失）的玩家对数。

我（认为）我找到了这个问题的贪婪解决方案。我只是按照损失的数量对玩家进行排序，然后将损失最少的人放在我的W集合中，其余的填充到L。我该如何证明我的贪婪方法实际上是最优的？我已经进行了几次随机测试，可以证明我的方法可以给出可行的解决方案，但是我不知道如何证明这确实可以最大程度地减少错误。

Answer 1

您的贪婪算法不是最佳算法。失败原因：

 W      L
===    ===
 A  vs  x
 B  vs  y
 C  vs  z
 B  vs  A
 C  vs  A
 x  vs  y

最优分区是W =（A，B，C），L =（x，y，z），但是您将A放在失败者集中，因为他有2次失败。

您说您做了一些随机测试。您如何验证您的贪婪算法为这些测试产生了正确的结果？

Answer 2

请考虑以下结果：

Winner    Loser
Adam      John
Bob       John
John      Charles
John      David
John      Ernest
John      Frank
John      George

我们计算损失并按升序排序：

Player    Losses
Adam      0
Bob       0
Charles   1
David     1
Ernest    1
Frank     1
George    1
John      2

您的算法按以下方式划分玩家：

Winners    Losers
Adam       Ernest
Bob        Frank
Charles    George
David      John

错误是（Charles，John）和（David，John）；有两个错误。请考虑以下划分：

Winners    Losers
Adam       David
Bob        Ernest
Charles    Frank
John       George

该部门没有错误：没有输给输者的赢家。这是更好的划分，错误更少；因此，如上所述，您的算法不是最佳的。

您的算法的基本问题是它仅考虑损失的数量；对于这种算法，多产的球员看起来比实际情况更糟，原因仅仅是尽管他们可能有更多的胜利，但他们比其他人损失更大。