托普利兹猜想的一般解

Question

  

Toeplitz猜想： 平面中的每个连续简单闭合曲线都包含四个点，这些点是正方形的顶点。

我试图找到（几乎）任何曲线 f（x，y）= 0 的一般解决方案。

例如：

（-1 + x ^ 2 + y ^ 2）^ 3-x ^ 2 * y ^ 3 = 0

ContourPlot[(-1 + x^2 + y^2)^3 == x^2*y^3, {x, -1.4, 1.4}, {y, -1.3, 1.5},
Frame -> False, PlotPoints -> 200]

有三个一般条件可以找到正方形的顶点：

顶点坐标为（p1，k1），（p2，k2），（p3，k3），（p4，k4）

让

g[x_, y_] := (x^2 + y^2 - 1)^3 - x^2 y^3

1 .. 顶点坐标满足心脏方程 g（x，y）= 0

eq1 = g[p1, k1] == 0;
eq2 = g[p2, k2] == 0;
eq3 = g[p3, k3] == 0;
eq4 = g[p4, k4] == 0;

2 .. 所有边的长度相等。

eq5 = 
  EuclideanDistance[{p1, k1}, {p2, k2}] == 
  EuclideanDistance[{p2, k2}, {p3, k3}] == 
  EuclideanDistance[{p3, k3}, {p4, k4}] == 
  EuclideanDistance[{p1, k1}, {p4, k4}];

3 .. 每个内角都是直角

angle1 = VectorAngle[{p4 - p1, k4 - k1}, {p2 - p1, k2 - k1}] == Pi/2;
angle2 = VectorAngle[{p1 - p2, k1 - k2}, {p3 - p2, k3 - k2}] == Pi/2;
angle3 = VectorAngle[{p4 - p3, k4 - k3}, {p2 - p3, k2 - k3}] == Pi/2;

我有 8个方程式和 8个变量，我想使用 Mathematica

查找数值解

我尝试过：

NSolve[eq1 && eq2 && eq3 && eq4 && eq5 && angle1 && angle2 && angle3, 
{p1, p2, p3, p4, k1, k2, k3, k4}]

或

FindRoot[{eq1 && eq2 && eq3 && eq4 && eq5 && angle1 && angle2 && angle3}, 
{{p1, 1}, {k1, 1}, {p2, 1}, {k2, 1}, {p3, 1}, {k3,1}, {p4, 1}, {k4, 1}}]

但是没有答案...

Answer 1

一旦选择了两个点，其他两个点的位置就会随之变化。

如果通过参数方程式知道曲线，则可以从参数的两个值中获得两个点。因此，您有两个未知数组成的两个方程组（表示这些点在曲线上）。

如果您没有参数方程式，那么它是四个未知数中的四个方程式。