Question

我正在比较两种确定数字是否为质数的算法。我正在查看时间复杂度的上限，但我无法理解两者之间的时间复杂度差异，尽管实际上一种算法要比另一种算法快。

此伪代码以指数时间O（2 ^ n）运行：

Prime(n):
    for i in range(2, n-1)
        if n % i == 0
            return False
    return True

此伪代码的运行时间是上一个示例的一半，但是我一直在努力了解时间复杂度是否仍为O（2 ^ n）：

Prime(n):
    for i in range(2, (n/2+1))
        if n % i == 0
            return False
    return True

Answer 1

作为关于big-O（big-O）和big-Θ（big-Theta）的简单直觉，它们是关于在显着增大目标O的大小时如何更改需要执行的操作次数。问题（例如2倍）。

线性时间复杂度意味着您将大小增加了2倍，所需执行的步骤数也增加了约2倍。这就是所谓的Θ(n)，通常是可互换但不准确的O(n)（O和Θ之间的区别在于O仅提供上限，而{{ 1}}保证上下限。

对数时间复杂度（Θ）表示，将大小增加2倍时，需要执行的步骤数将增加一定数量的操作。例如，使用二进制搜索，您只需一次矿石循环迭代就可以在两倍长的列表中找到给定元素。

类似地，指数时间复杂度（对于某些常数Θ(log(N))，Θ(a^N)）意味着如果将问题的大小仅增加1，则需要多进行a > 1倍的运算。（请注意，a和Θ(2^N)之间有细微的差别，实际上第二个更为通用，两者都位于指数时间之内，但两者都不能全部涵盖，请参见wiki一些详细信息）

请注意，这些定义在很大程度上取决于您如何定义“任务的大小”

正如@DavidEisenstat正确指出的那样，可以在两种情况下看到您的算法：

一些固定宽度的数字（例如32位数字）。在这种情况下，素数测试算法复杂性的一个明显度量就是被测值本身。在这种情况下，您的算法是线性的。
实际上，在很多情况下，素数测试算法应适用于非常大的数字。例如，当今使用的许多加密算法（例如Diffie–Hellman key exchange或RSA）都依赖于非常大的素数，例如512位，1024位等等。同样在那些上下文中，安全性是根据那些位数而不是特定的质数来衡量的。因此，在这种情况下，衡量任务大小的自然方法是位数。现在出现了问题：使用您的算法，我们需要执行多少次操作才能检查以位为单位的已知大小的值？显然，如果值2^Θ(N)具有N位，则它约为m。因此，您的算法从线性N ≈ 2^m转换为指数Θ(N)。换句话说，要解决一个仅长1位的值的问题，就需要做大约2倍的工作。

Answer 2

指数与线性是一个有关如何表示输入和机器模型的问题。如果输入以一元表示（例如，将7发送为1111111），并且机器可以对数字进行恒定的时分，那么可以，该算法是线性时间。但是，n的二进制表示形式大约使用lg n位，并且数量n与lg n呈指数关系（n = 2 ^（lg n））。

鉴于两种解决方案的循环迭代次数均在一个常数因子之内，所以它们在同一大O类Theta（n）中。如果输入具有lg n位，则为指数；如果输入具有n位，则为线性。

Answer 3

我希望这能为您解释为什么它们实际上是线性的。

假设您调用函数并查看它们执行了多少时间

Prime(n): # 1 time 
    for i in range(2, n-1) #n-1-1 times
        if n % i == 0  # 1 time 
            return False # 1 time

    return True # 1 time


# overall -> n

Prime(n): # Time
    for i in range(2, (n/2+1)) # n//(2+1) -1-1 time
        if n % i == 0 # 1 time
            return False # 1 time
    return True # 1 time

# overall -> n/2 times -> n times

这表明素数是线性函数

O（n ^ 2）可能是由于调用此函数的代码块引起的。

什么构成指数时间复杂度？

3 个答案: