指数时间复杂度

Question

Fibonacci的时间复杂度为O（2 ^ n） 如果我想获得3 ^ n的时间复杂度怎么办？

据我的朋友说，由于以下步骤，斐波那契的时间复杂度为O（2 ^ n）： -

return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2)

另外他说如果写的话会变成O（3 ^ n）： -

return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2)+fibonacci(n-3)

有人可以告诉为什么会这样吗？

根据他的说法，这是因为我们在每一步都要调用两次Fibonacci函数，这就是为什么它是O（2 ^ n）。如果是这样，那么下面代码的复杂性应该是O（k ^ k），但据我所知，它是O（n）

void permute(int k,int size) {  
    // some base case    
    for (i=k-1;i>=0;i--)          
    permute(k-1,size);  
    return; 
}

他的逻辑对我来说似乎很垃圾。对我而言，由于合并成本，它是2 ^ n。 二进制树遍历的成本与O（n）相同，尽管函数在每一步都调用两次。

有人可以告诉我，我们中间谁错了，实际的逻辑是什么？

Answer 1

这个previous answer应该说服斐波纳契的序列算法时间复杂度。

然后，基于相同的答案原则，您的新序列算法可以表示为

T(n) 
= T(n-1) + T(n-2) + T(n-3) 
= ( T(n-2)+T(n-3)+T(n-4) )+( T(n-3)+T(n-4)+T(n-5) )+( T(n-4)+T(n-5)+T(n-6) )
= ...

您会看到每个节点创建3个新节点。该算法复杂度变为O（3 ^ n）

来自Wolfram的图片:(考虑节点13到37在下面继续，因为树的底部不是“平坦的”，因为第一级“n-3”节点将在“n-2”之前完成，在“n-1”等之前完成......）

Answer 2

实际上O（2 ^ n）有点超出它（但仍然正确，因为big-O是上限），it's more like ~θ(1.6^n)。

尝试描绘递归树。每个节点都分成2个，树的深度为n，所以最终大约为O（2 ^ n）。

类似地，O（3 ^ n）示例，每个节点分裂为3，深度仍为n。

但是对于O（3 ^ n），我宁愿推荐这样的东西：

someFunction(n)
  if (n == 0)
    return 1
  return someFunction(n-1) + someFunction(n-1) + someFunction(n-1)

当然，通过将最后一个return语句更改为：

，这可以简单地转换为O（n）

return 3*someFunction(n-1)

但这不是重点（人们还可以计算O（n）中的第n个斐波纳契数。）

现在很容易评估。

n有1个调用，n-1有3个，n-2,3 * 3个，n-3有3 * 3 * 3个等。

通常，运行时间为O（3 ^ n）。

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对于permute函数：

由于您将k-1传递给递归通话（不是i），因此您需要1呼叫k，k-1呼叫k-1，{{1对于k-2，(k-1)(k-2)表示k-3，等等。

所以看起来像(k-1)(k-2)(k-3)。

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如果您要通过O((k-1)!)，则i要求k，1要求k-1，1要求k-2，{{ 1}}表示k-3，1+1=2表示k-4，1+1+2=4表示k-5等。

所以看起来像1+1+2+4=8。

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二叉树遍历需要16，但O(2^(k-1))不是二叉树的高度，而是节点的数量。在Fibonacci示例中，O(n)是高度。如果我们考虑根据高度遍历平衡二叉树需要多长时间，我们最终得到n，从一些基本数学开始，最终为n。