Question

我试图用Matlab函数Pdepe（https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/pdepe.html）解决一维耦合PDE的对流扩散反应问题。与扩散项相比，在对流项较高的情况下，此功能无法正常工作。因此，我搜索并找到了使用Python库FiPy解决我的PDE系统的选项。我的初始条件是u1 = 1 for 4 * L / 10

我的耦合方程式具有以下形式：

du1 / dt = d / dx（D1 * du1 / dx）+ g * x * du1 / dx-mu1 * u1 /（K + u1）* u2

du2 / dt = d / dx（D2 * du2 / dx）+ g * x * du2 / dx + mu2 * u1 /（K + u1）* u2

我试图通过结合FiPy示例（examples.convection.exponential1DSource.mesh1D，examples.levelSet.advection.mesh1D，examples.cahnHilliard.mesh2DCoupled）来编写它。

以下几行不是一个可行的示例，而是我第一次尝试编写代码。这是我第一次使用FiPy（在测试和文档示例中），因此对于普通用户而言，这似乎完全没有意义。

from fipy import *

g = 0.66
L = 10.
nx = 1000
mu1 = 1.
mu2 = 1.
K = 1.
D1 = 1.
D2 = 1.

mesh = Grid1D(dx=L / 1000, nx=nx)

x = mesh.cellCenters[0]
convCoeff = g*(x-L/2)

u10 = 4*L/10 < x < 6*L/10
u20 = 1.

u1 = CellVariable(name="u1", mesh=mesh, value=u10)
u2 = CellVariable(name="u2", mesh=mesh, value=u20)

## Neumann boundary conditions
u1.faceGrad.constrain(0., where=mesh.facesLeft)
u1.faceGrad.constrain(0., where=mesh.facesRight)
u2.faceGrad.constrain(0., where=mesh.facesLeft)
u2.faceGrad.constrain(0., where=mesh.facesRight)

sourceCoeff1 = -1*mu1*u1/(K+u1)*u2
sourceCoeff2 = 1*mu2*u1/(K+u1)*u2

eq11 = (TransientTerm(var=u1) == DiffusionTerm(coeff=D1, var=u1) + ConvectionTerm(coeff=convCoeff))
eq21 = (TransientTerm(var=u2) == DiffusionTerm(coeff=D2, var=u2) + ConvectionTerm(coeff=convCoeff))

eq12 = ImplicitSourceTerm(coeff=sourceCoeff1, var=u1)
eq22 = ImplicitSourceTerm(coeff=sourceCoeff2, var=u2)

eq1 = eq11 & eq12
eq2 = eq21 & eq22

eqn = eq1 & eq2
vi = Viewer((u1, u2))

for t in range(100):
    u1.updateOld()
    u2.updateOld()
    eqn.solve(dt=1.e-3)
    vi.plot()

感谢您的任何建议或更正。如果您碰巧知道有关此特定类型问题的出色教程，那么我将很高兴阅读它，因为我发现没有比FiPy文档中的示例更好的东西了。

Answer 1

几个问题：

python chained comparisons在numpy中不起作用，因此在FiPy中不起作用。所以写

u10 = (4*L/10 < x) & (x < 6*L/10)

此外，这使u10成为布尔值字段，这使FiPy感到困惑，因此写

u10 = ((4*L/10 < x) & (x < 6*L/10)) * 1.

或者，更好的是，写

u1 = CellVariable(name="u1", mesh=mesh, value=0., hasOld=True)
u2 = CellVariable(name="u2", mesh=mesh, value=1., hasOld=True)
u1.setValue(1., where=(4*L/10 < x) & (x < 6*L/10))

ConvectionTerm采用向量系数。一种方法是
```
convCoeff = g*(x-L/2) * [[1.]]
```
代表一维等级1变量
如果您声明Variable适用于哪个Term，则必须对所有Term执行此操作，因此，例如，
```
ConvectionTerm(coeff=convCoeff, var=u1)
```
ConvectionTerm(coeff=g*x, var=u1) 不代表g * x * du1 / dx。它表示d（g * x * u1）/ dx。所以，我相信你会想要
```
ConvectionTerm(coeff=convCoeff, var=u1) - ImplicitSourceTerm(coeff=g, var=u1)
```

ImplicitSourceTerm(coeff=sourceCoeff1, var=u1不代表 -1*mu1*u1/(K+u1)*u2，而是代表-1*mu1*u1/(K+u1)*u2*u1。因此，为了使方程之间达到最佳耦合，请写

sourceCoeff1 = -mu1*u1/(K+u1)
sourceCoeff2 = mu2*u2/(K+u1)

... ImplicitSourceTerm(coeff=sourceCoeff1, var=u2) ...
... ImplicitSourceTerm(coeff=sourceCoeff2, var=u1) ...

正如@ wd15在评论中指出的，您要声明两个未知数的四个方程。 &并不意味着“将两个方程加在一起”（可以用+完成），而是意味着“同时求解这两个方程”。所以，写

sourceCoeff1 = mu1*u1/(K+u1)
sourceCoeff2 = mu2*u2/(K+u1)

eq1 = (TransientTerm(var=u1) 
       == DiffusionTerm(coeff=D1, var=u1) 
       + ConvectionTerm(coeff=convCoeff, var=u1) 
       - ImplicitSourceTerm(coeff=g, var=u1) 
       - ImplicitSourceTerm(coeff=sourceCoeff1, var=u2))
eq2 = (TransientTerm(var=u2) 
       == DiffusionTerm(coeff=D2, var=u2) 
       + ConvectionTerm(coeff=convCoeff, var=u2) 
       - ImplicitSourceTerm(coeff=g, var=u2) 
       + ImplicitSourceTerm(coeff=sourceCoeff2, var=u1))

eqn = eq1 & eq2

要调用CellVariable，必须用hasOld=True声明updateOld()，因此

u1 = CellVariable(name="u1", mesh=mesh, value=u10, hasOld=True)
u2 = CellVariable(name="u2", mesh=mesh, value=u20, hasOld=True)

似乎有效的完整代码是here

如何将对流扩散反应PDE与FiPy耦合

1 个答案: