Question

功能：

for (int i = 0; i < n; i++) {
    for (int j = i; j > 0; j /= 2){
        std::cout << j << endl;
    }
}

我刚被介绍过这些东西，这个问题使我不寒而栗。由于内部for循环连接到i，因此它将运行log（n！）次。也就是说，由于log（a）+ log（b）= log（a * b）。并且外循环运行n次。我仍然在弄乱我的答案，并且不确定如何正确连接所有内容/还可以如何解决这个问题。有帮助吗？

Answer 1

要计算内部循环运行的时间从此开始：当j = 0且j start = i且每次半等距时，循环停止，因此在迭代k中，您有i / 2 ^ k，当i / 2 ^ k = 1时，它到达了最后一个迭代，因此取log2和结果为k = log2（i）+1，再加上一个，因为它需要进行另一次迭代。因此，内部循环执行k = log2（i）+1迭代。现在，您可以将两个循环运行的时间表示为： i = 1到i = N的总和j = 1到j = \ log2（i）+1 \的总和。

但是，如果您对T（n）感兴趣，只需将外循环的次数乘以内循环的最大时间即可，因此内循环的最大值为log2（n），因此您得到： T（n）= O（n log2（n））

其中\ log2（i）+1 \是较低的整数

Answer 2

当然，您的方法看起来不错。

还有另一种看问题的方法。

for (int i = 0; i < n; i++) { // loop 1
    for (int j = i; j > 0; j /= 2){ // loop 2
        std::cout << j << endl;
    }
}

循环1的分析

这里没什么可看的，O(n)

第2循环分析

更有趣的是，给定一个数字j（= i），这是一场竞赛，看看在获得0之前可以除以2多少次。

将每个n的两个分析结合起来，就可以执行log（n，2）-> log（number，base）。

即O(n * log(n,2))。

通过名为Stirling's Approximation的事物，您可以证明O(nlogn)是O(log(n!))。

现在需要指出的是，您要求的 T(n) 与 O(n) 稍有不同。

T(n) 是用于数学表示算法的相对于其下一个处理步骤和当前步骤的东西。

对于诸如合并排序之类的

T(n) = 2 * T(n/2)(divide) + O(n)(conquer) 。

在我们的情况下，我将 T(n) 写为

T(n) = T(n + 1)(next step) + O(logn)(race to zero)   , 0 <= n < N
     = 0                                             , n >= N

（我知道T（n）通常是用以前的术语而不是将来的术语来表示的，但我只是概述了一点，它不是严格的数学定义）

如何找到该函数的T（n）？

2 个答案:

循环1的分析

第2循环分析