将分区概率减少为决策概率

Question

我们有相关的众所周知的问题：

1）分区（决策问题）： 给定n个自然数的集合S。是否有可能找到S的子集T，使得T的数量之和等于T \ S的数量之和？

2）分区（一般问题）： 给定n个自然数的集合S。假设对此集合的决策问题1）的答案为“是”，则找到这样的子集。

一个简单的问题：如果我们有一个算法可以在多项式时间内求解1），那么如何在多项式时间内求解2）？

Answer 1

解决方案：假设我们要对n个自然数的集合S进行划分，其和等于数字b，并且我们有一个黑盒算法可以解决多项式时间内的决策问题。

1: If the answer of the partition problem of S is no, then return. 2: Pick an element x of S. 3: If x is equal to b/2 return S\x (partition found). 4. Merge x with another element y of S (set x=x+y and set S=S\y) which is not processed yet. 5: Solve the decision problem for S. 6: If the answer is no then revert step 4, mark y as processed. 7: Go back to step 3.

每次重复步骤2，我们都必须解决多项式时间中的决策问题。由于我们最多只需要重复第2步n-1次，因此总的时间复杂度也是多项式。