有3个点，我如何计算它们形成的平面的偏移量

Question

我有一个3点A，B和C的三角形。 我可以通过

找到三角形的法线

|AB x AC|

在下图中，它显示了我知道的ABC和| n1 |我可以计算出来。但我怎么会找到P1？

如果它有帮助，我需要用它来知道Ray是否会与Convex Mesh碰撞，它需要P1。使用A，B或C，它似乎不起作用。

Answer 1

向量P1 = (D*a1 + D*b1 + D*c1)应垂直于向量(P1-C)（使用A，B，C中的任意点），因此点积为零

D * a1 * (D * a1 - cx) + D * b1 * (D * b1 - cy) + D * c1* (D * c1 - cz) = 0
or
D = (N.dot.C) / (a1^2 + b1^2 + c1^2)

如果normal是unit（标准化），则系数D的表达式变得非常简单

d = uN.dot.C

之后：

 P1 = D * N = d * uN 

快速检查：

A = (2, 0, 0)
B = (2, 2, 0)
C = (2, 0, 2)
AB = (0, 2, 0)
AC = (0, 0, 2)
N = AB x AC = (4, 0, 0)
N.dot.N = 16
uN = (1, 0, 0)

N.dot.C = (4 * 2) = 8
D = N.dot.C / N.dot.N = 1/2
P1 = D * N  = (2, 0, 0)

d = uN.dot.C = (1 * 2) = 2
P1 = d * uN = (2, 0, 0) 

Answer 2

任何平面的一般方程是

Ax + By + Cz + D = 0

其中(A, B, C)是飞机的法线向量，您已用三点计算。

要让D将x，y，z替换为您知道在平面上的任何点(x1,y1,z1)的坐标：

D = -(A*x1 + B*y1 + C*z1)

好消息是，如果向量（A，B，C）是单位向量，那么|D|是从原点（垂直）到平面的距离。