如何确定函数在算法分析中是否具有特定的渐近类型？

Question

我希望更好地理解渐近符号，以及如何分类函数是否是另一个函数的O符号，以及我们如何判断 f = o(g) || f != o(g)

例如：

例如，我们如何判断 f = O(g) ？

我主要看到这种方法（下面的解决方案与上述问题无关）：

但这很令人困惑，因为我没有做出证明这一点的方式。

请帮助我理解这里应用的核心概念。

由于

Answer 1

如果我们能找到这两件事，我们说f是O（g）：

（1）我们可以找到一个常数“C”（你只选择一个constnat，这里我的意思是你以后不能改变它，这对初学者来说是最令人困惑的部分）。

（2）和一个“N”（这是一个下限，意味着大于这个N的值，我们的公式将是有效的，一旦你达到结束然后回来并尝试理解我的意思是下限）。

这样每当我们插入n＆gt; = N的值时，f（n）应小于或等于C.g（n）

或者以公式形式：

示例：

假设我有一个函数f = 3n^2 + 4n + 3

还有一个函数g = n^2

f = O（g）？

f的前导词是3n^2，这意味着如果我的常量高于3且我将其乘以g，那么f将小于g {1}}。

让我们n = 4 > 3然后我得到g = 4n^2，然后我的常数c就是4。

现在问题是如果我增加n的价值会发生什么？如果我插入例如n = 4，那么f(n)将不会小于g(n)，但是当我插入n = 5时，它就是有效的。所以在这个例子中c = 4 and N = 5。

现在你的问题中有两个不同的东西。下面的这个问题与Big-O表示法无关，它被称为tilde notation。

Big-O抛弃了不变的术语，但是波形符号没有。这是比较算法的更严格的形式。这里22表示当n接近无穷大时，f和g之间的差值约为22.但我更喜欢tilde符号，但首先你需要了解Big-O然后你可以走得更远。

对于这个问题：

您可以看到：这两个函数都有更高的术语n，即f = 7n + ...和g = n。 如果我想证明是f is o(g)

现在，如果我要求c c.g(n)大于f(n)的价值。 是否存在任何常量c，以使公式对所有n >= some N都有效。

如果我现在将g与7相乘（因为f具有前导常数7），这是否有效？不，因为f也有8因子，这意味着我需要增加常数c。如果8，我们将其视为7n + 8 > 8n，然后n = 1，但n >= 2然后g始终大于f时会发生什么。所以对于常数c = 8 and n >= 2 f is o(g)。您还可以证明g is O(f)。 这并不困难，你应该保持不变c = 1 and for n belonging to natural number

Answer 2

自然数上的函数f是自然数上的函数g的Big-Oh，写为f（n）= O（g（n）），当且仅当存在常数c> 0，n0＆gt;因此，对于n> = n0，f（n）<= c * g（n）。要证明这一点，您必须显示有效的c和n0的值，并显示它们有效。您可以显示7n + 8 = O（n），因为对于所有n> = 8（c = 8，n0 = 8），7n + 8 <= 8 * n。您可以证明n = 0（7n + 8），因为对于n> = 1（c = 1，n0 = 1），n <= 1 *（7n + 8）。

自然数上的函数f是自然数上的函数g的Little-Oh，写为f（n）= o（g（n）），当且仅当对于所有常数c> 0，存在n0，使得f（n）<0。对于n> = n0，c * g（n）。为了证明这一点，你必须展示如何找到一个在给定c的正值的情况下有效的n0。你可以证明7n + 8 = o（n ^ 2），因为7n + 8＆lt; c * n ^ 2可以重新排列为c * n ^ 2 - 7n - 8> 0，显然有任何积极选择c的解决方案（导数是2c * n - 7，总是最终为正，所以函数必须在足够大的n0时得到正数）。