找到尽可能紧的边界？

Question

2^n −8 = O(2^n)
It says there are some positive constants c and n0 for which
0 <= f(n) <= cg(n) for all n >= n0

我解决了它：

2^n −8 <= c2^n
If c = 1, and n0 = 1
1-8 <= 1*1
-7<= 1
then for all n >= n0 it remains true.

这是真的，但我不明白尽可能紧密地找到界限是什么意思？ 谁能解释一下？

Answer 1

尽可能紧密意味着找到具有最小增长顺序的函数g(n)，使其仍然满足f(n) = O(g(n))。在你的例子中它相对简单（因此你的困惑，我相信） - 只删除除了增长最快的术语（2^n）之外的所有内容。

但是，让我们考虑一个例子，其中最严格的界限可能不会立即显而易见 - 斐波那契序列生成器：f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)。查找上限的一种简单方法是进行近似，将n - 2替换为n - 1以提供f(n) ≈ 2 * f(n - 1)，即O(2^n)。这不是 tightest 的约束 - 通过求解二次方程式，您会发现最严格的界限实际上是Ө(1.61...^n) - 有关详细信息，请参阅this page。