Question

我正在使用Coq Proof Assistant来实现（小）编程语言的模型（扩展由Bruno De Fraine，Erik Ernst，MarioSüdholt执行的Featherweight Java）。使用induction策略时不断出现的一件事是如何保留包含在类型构造函数中的信息。

我有一个子类型Prop，实现为

Inductive sub_type : typ -> typ -> Prop :=
| st_refl : forall t, sub_type t t
| st_trans : forall t1 t2 t3, sub_type t1 t2 -> sub_type t2 t3 -> sub_type t1 t3
| st_extends : forall C D,
    extends C D ->
    sub_type (c_typ C) (c_typ D).

Hint Constructors sub_type.

其中extends是Java中的类扩展机制，typ表示可用的两种不同类型，

Inductive typ : Set :=
| c_typ : cname -> typ
| r_typ : rname -> typ.

我希望保存类型信息的一个示例是在假设上使用induction策略时

H: sub_type (c_typ u) (c_typ v)

E.g。在

u : cname
v : cname
fsv : flds
H : sub_type (c_typ u) (c_typ v)
H0 : fields v fsv
============================
 exists fs : flds, fields u (fsv ++ fs)

使用induction H.会丢弃有关u和v的所有信息。 st_refl案例变为

u : cname
v : cname
fsv : flds
t : typ
H0 : fields v fsv
============================
 exists fs : flds, fields u (fsv ++ fs)

正如您所看到的，u和v与typ中的H构造函数相关联的信息，以及t的信息将丢失。更糟糕的是，由于此问题，Coq无法确定u和v在这种情况下实际上必须相同。

在inversion上使用H策略时，Coq成功地看到u和v是相同的。然而，这种策略不适用于此，因为我需要induction生成的归纳假设来证明st_trans和st_extends个案。

是否有一种策略结合了inversion和induction的最佳效果，既可以生成归纳假设，又可以在不破坏有关构造函数包含内容的信息的情况下导出等式？或者，有没有办法手动导出我需要的信息？ info inversion H和info induction H都表明会自动应用大量转换（尤其是使用inversion）。这些导致我尝试change策略以及let ... in构造，但没有任何进展。

Answer 1

当您需要引入具有参数具有特定结构（sub_type (c_typ u) (c_typ v)）的从属类型（c_typ u）的假设时，这是一个普遍问题。有一个通用技巧，即有选择地将结构化参数重写为变量，保持环境中的相等性。

set (t1 := c_typ u) in H; assert (Eq1 : t1 = c_typ u) by reflexivity; clearbody t1.
set (t2 := c_typ u) in H; assert (Eq2 : t2 = c_typ u) by reflexivity; clearbody t2.
induction H. (*often "; try subst" or "; try rewrite Eq1; try rewrite Eq2" *).

从Coq 8.2开始，这种常见的set-assert-clearbody模式由内置策略remember term as ident in *goal_occurences*执行。

这是使用这种策略证明的一个愚蠢的引理。

Lemma subtype_r_left_equal :
  forall r1 t2, sub_type (r_typ r1) t2 -> r_typ r1 = t2.
Proof.
  intros.
  remember (r_typ r1) as t1 in H.
  induction H.
  congruence.
  solve [firstorder].
  discriminate.
Qed.

奖金提示（来自经验，但它已经有一段时间了，所以我不记得细节）：当你在类型系统上进行相当的语法推理时（当你做这些机械校样时往往就是这种情况）），可以方便地在Set中输入判断。考虑将派生键入为您推理的对象。我记得在类型派生中引入平等很方便的情况，这并不总是适用于Prop中的输入派生。

使用Problem.v，这是反身性案例的证明。对于传递性，我怀疑你的归纳假设不够强。这可能是您简化问题的方式的副产品，尽管传递性通常需要令人惊讶地涉及诱导假设或引理。

Fact sub_type_fields: forall u v fsv,
  sub_type (c_typ u) (c_typ v) -> fields v fsv ->
  exists fs, fields u (fsv ++ fs).
Proof.
  intros.
  remember (c_typ u) as t1 in H.
  remember (c_typ v) as t2 in H.
  induction H.
  (* case st_refl *)
  assert (v = u). congruence. subst v t.
  exists nil. rewrite <- app_nil_end. assumption.
  (* case st_trans *)
  subst t1 t3.
  (* case st_extends *)
Admitted.

Answer 2

我遇到了类似的问题，Coq 8.3的“依赖感应”策略处理了业务。

Answer 3

我确信CPDT对这个问题有一些评论，但它并不完全明显。以下是一些链接：

http://adam.chlipala.net/cpdt/html/Cpdt.Predicates.html部分＆＃34;隐含平等的预测＆＃34;可能是Coq＆＃34;失去信息的最简单的情况。（在破坏，而不是归纳。）它还解释了为什么这些信息丢失：当你破坏一个应用于不是自由变量的参数的类型时，这些类型首先被自由变量替换（这就是为什么Coq输了信息。）
http://adam.chlipala.net/cpdt/html/Cpdt.Universes.html第34节＆＃34;避免公理的方法＆＃34;显示了一些避免公理K的技巧，包括＆＃34;平等技巧＆＃34;吉尔斯描述。搜索＆＃34;使用基于平等的通用技巧来支持对非变量参数的归纳以键入族＃34;

我认为这种现象与依赖模式匹配密切相关。

使用感应时保持信息？

3 个答案: