Question

是否可以通过将矢量旋转到轴并沿轴旋转来计算矢量的长度，然后使用该轴测量矢量的长度？如果是这样，它是否比毕达哥拉斯/平方根计算长度便宜？我在团结工作（C＃）

示例：

Vector3 myVector(x, y, z);
Vector3 myVectorRealigned = Quaternion.FromToRotation(myVector, Vector3.up) * myVector;

float myVectorLength1 = sqrt(myVector.x^2 + myVector.y^2 + myVector.z^2);
float myVectorLength2 = myVectorRealigned.y;

当我尝试这个似乎工作！但是哪种方法最好用/最便宜？

Answer 1

我不是数学家，所以如果我错了，请纠正我。

正如您所测试的那样，两种方法都应该有效，但我认为Quaternion方法的成本更高。

规范方法需要3次乘法，2次加法和1次sqrt。

相比之下，单独使用四元数方法（Quaternion.FromToRotation）的第一步比计算范数更昂贵。计算描述从一个向量到另一个向量的旋转的四元数的方法是：

Quaternion q;
vector a = crossproduct(v1, v2)
q.xyz = a;
q.w = sqrt((v1.Length ^ 2) * (v2.Length ^ 2)) + dotproduct(v1, v2)

如你所见，仅这一点比norm = sqrt(myVector.x^2 + myVector.y^2 + myVector.z^2)更贵。

此外，您使用该四元数再次旋转矢量涉及点积，交叉积和几次乘法和加法。

例如：rotatedVec = 2 * dot(q.xyz, v) * q.xyz + (q.w^2 - dot(q.xyz, q.xyz)) * v + 2 * q.w * cross(q.xyz, v)。

参考文献：from-to-quaternion，rotate vector by quaternion

旁注：如果您关注性能并且不需要矢量的确切长度（例如，用于确定最接近x的位置），则可以使用{{3} （方形规范）也是如此。

使用四元数的传染媒介的长度

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