Ax = b，b依赖于x

Question

我理解如何解决Ax = b，但是如果b依赖于x呢？参见图片E3 =功能（E4）。我想这是迭代完成的。这叫什么问题？我用什么方法来解决它？

我正在尝试解决以下系统：

给出以下方程组：

通向以下矩阵：

更新 根据要求提供更多信息：

A = ([
[-1, 0, 0, 0, 0],
[1, -1, -1, 0, 0],
[0, 1, 0, -1, 0],
[0, 0, 1, 1, -1],
[0, 0, 1, 0, 0]
])

b = [-10, 0, 1, 1, 3]

print(np.linalg.solve(A, b))

-> [ 10.   7.   3.   6.   8.]

这有效，但如果：

b = [-10, 0, 1, 1, some_function(x[3])]

所以E3 = some_function（E4），因此E3取决于E4，由'some_function'定义（非线性）

Answer 1

是的，您可以通过非线性优化来解决这个问题。 scipy.optimize包含所有有用的详细信息，但这是一个解决系统假设Dim toDelete As Range For i = endRow To 3 Step -2 If toDelete Is Nothing Then Set toDelete = Rows(i) Else Set toDelete = Union(toDelete, Rows(i)) End If Next toDelete.Delete shift:=xlUp 为some_function(x)的示例：

x ** 2

所有优化技术基本上都是功能最小化。您提供优化程序

1. 一个最小化的函数（并且它接受一个向量输入参数并返回一个标量数）和
2. 关于哪个输入向量产生最小标量的初始猜测。

优化器返回该函数的输入，产生最小的输出。

上面的import numpy as np import scipy.optimize as opt A = np.array([ [-1, 0, 0, 0, 0], [1, -1, -1, 0, 0], [0, 1, 0, -1, 0], [0, 0, 1, 1, -1], [0, 0, 1, 0, 0.0] ]) b = np.array([-10, 0, 1, 1, 3.0]) # last value is fake def objectiveFunction(x): bNew = b.copy() bNew[-1] = x[3] ** 2 # "some_function = lambda x: x**2" error = np.dot(A, x) - bNew return np.dot(error, error) solution = opt.minimize(objectiveFunction, np.zeros((5))) print(solution) 函数正在最小化，它返回objectiveFunction之间的错误，其中A . x - b是候选解决方案，而x的形式取决于b {1}}。

你可以陷入局部最小值，所以使用优化方法是一种黑色艺术。但这种情况看起来非常简单：上面的代码打印出以下内容：

x

这是很多信息，但重要的是 fun: 1.3591186209050682e-11 hess_inv: array([[ 0.49698215, 0.08279412, 0.40828859, 0.08067816, 0.47743665], [ 0.08279412, 0.39205925, -0.22445874, -0.02791535, -0.26595691], [ 0.40828859, -0.22445874, 1.01438679, 0.18492456, 1.19990433], [ 0.08067816, -0.02791535, 0.18492456, 0.05283296, 0.23785942], [ 0.47743665, -0.26595691, 1.19990433, 0.23785942, 1.94819504]]) jac: array([ -5.37158676e-06, 4.82585577e-06, 7.97108114e-06, -6.31780565e-06, 4.76041890e-07]) message: 'Optimization terminated successfully.' nfev: 105 nit: 13 njev: 15 status: 0 success: True x: array([ 10.00000068, 3.54138098, 6.45862309, 2.54138196, 8.00000528]) 和x值：请注意fun是一个向量而x是一个标量。这意味着fun。这反过来意味着您正在寻找的答案objectiveFunction(solution.x) == solution.fun（假设b}是some_function，您可以确信这是正确的，因为solution.x（ solution.fun和A . x之间的误差接近于零。

我跳过了一堆解释，但我可以详细说明你是否需要。

Answer 2

如果您的b(x)是x的某种非线性函数，那么左侧有A*x并不重要。表达方程的最简单方法是A*x - b(x)=0，换句话说F(x) = 0，即一般非线性方程。在尝试解决这个问题之前，请注意一些令人讨厌的后果：

• 一般而言，您无法对解决方案的分发发表任何意见。有一个吗？没有更详细的分析就不可能说。也许有一些，或无限多？使用线性方程组（A*x = b），所有信息都在矩阵中，但非线性方程则不然。

• 由于非线性求解器无法对解决方案景观的结构做出假设，因此无法保证求解器收敛。事实上，所有非深奥的解算器都只是本地的，即你提供了一个初步的猜测，即关闭＆＃34;一个解决方案，解算器会将猜测收敛到它。为了保证收敛，在开始之前，您必须对解决方案有一个很好的了解。在实践中，许多人只是随机猜测，让当地的解决方案做了几步，保持手指交叉。

• 可以说，最受欢迎的本地解算器是牛顿法;它是实现二次收敛的唯一解算器（如果您已经接近解决方案）。在每个步骤中，您需要使用雅可比行列式求解线性方程组，即J*d = -F(x)。如果你不小心这样做，那就足够了。

既然你已经了解了所有这些，就可以使用scipy optimize。