使无向图成为强连通分量（SCC）

Question

  

让G(V,E)，一个没有桥梁的无向连通图。描述一个指向边缘的算法，因此新图形是SCC。

我建议的算法
所以我们从任意顶点运行DFS。我们注意到，因为它是一个无向图，所以只有树边和后边（右边？）。我们相应地连接边缘（树边缘将被“向下”，而后边缘将被“向上”）。

证明开始
我们注意到图表没有桥梁。因此，每个边缘都是某个​​周期的一部分。因此，在某个循环中要发现的最后一个边缘必须是后沿。

现在，我认为证据的其余部分需要表明我们总是可以“爬”到根，因此图表是SCC。

如果你能帮助我连接点（或顶点XD），我会很高兴

由于

Answer 1

您正在寻找的是Robbins' Theorem的证据 有关更正式的证据，您可以查看this paper（参见定理证明2）。

以下不是正式的证据，但它是你能想到的一种方式：

正如您已经提到的，由于没有桥梁，每个边缘都是某个​​周期的一部分。由于您希望输出图形为SCC，因此此输出图形（来自任何顶点）上的DFS必须仅具有后边和树边。它不能有前沿或交叉边。

假设我们从s到t有一个前沿。这意味着在为了构建图形而运行的DFS中，t在s的子DFS（递归调用）中被发现，并且没有其他灰色或白色邻接。但事实并非如此，因为每当我们在DFS中发现t时，我们仍然会有灰色相邻。

假设我们从s到t有一个交叉边。这意味着t的子DFS在s被发现之前已经结束。同样，这在我们的DFS中不会发生，因为在首先发现t时，我们会在其子DFS中发现s或相反的方向。

这是一个简单的图表，可以帮助您查看这些案例。